静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 3 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 2 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
水が、100 mm から 40 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 210 kPa、流速は 1.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。
d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 210 kPav1 = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
水が、150 mm から 100 mm に細くなりながら 6 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 390 kPa、流速は 3 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 390 kPav1 = 3 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 200 m、内径 75 mm の管内を 3 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
Q = 3 L/sL = 200 mD = 75 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 150 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 17 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。
Δz = 17 mL = 150 mD = 300 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ポンプとポンプ動力ふつう
効率 70% のポンプが揚程 68 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 80 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 80 L/sH = 68 mη = 70%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 30 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 300 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 80 L/sΔz = 30 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 8
H = m
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
台形のれんが積みの水路の底幅は 5 m、側面勾配は 2:1（水平:鉛直）である。水は水深 1.2 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.015、水路床勾配は S = 0.001 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
b = 5 my = 1.2 mz = 2n = 0.015S = 0.001
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
底幅 3 m、側面勾配 1.5:1（水平:鉛直）の台形の砂利の水路は、 水深 1 m の等流で 8.8 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.025。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。
Q = 8.8 m³/sb = 3 my = 1 mz = 1.5n = 0.025
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 208.5 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.25·5 = 208.5 kN
答え
F = 208.5 kN
2.静水圧
答え: F = 111.2 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·1.5 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·3·3 = 111.2 kN
答え
F = 111.2 kN
3.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 167.2 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 1.5·(100/40)² = 9.375 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.5² − 9.375²)/1000 = −42.82 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 210 + (−42.82) = 167.2 kPa
答え
p2 = 167.2 kPa
4.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 312.9 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(150/100)² = 6.75 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 6.75²)/1000 = −18.28 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 390 + (−18.28) − 58.86 = 312.9 kPa
答え
p2 = 312.9 kPa
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 1.253 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
平均流速
A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²
V = Q/A = 0.003/0.004418 = 0.6791 m/s
速度水頭
V²/(2g) = 0.6791²/(2·9.81) = 0.0235 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(200/0.075)·0.6791²/(2·9.81) = 1.253 m
答え
hf = 1.253 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: Q = 298.5 L/s
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失係数
f·L/D = 0.022·150/0.3 = 11
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7
エネルギー式
どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。
17 = (11 + 7.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·17/18.7) = 4.223 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 4.223·0.07069 = 0.2985 m³/s = 298.5 L/s
答え
Q = 298.5 L/s
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 76.24 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·68 = 53.37 kW
軸動力
Pshaft = Ph/η = 53.37/0.7 = 76.24 kW
答え
Pshaft = 76.24 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: H = 41.57 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 8)·0.3305 = 11.57 m
ポンプ揚程
どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。
H = Δz + hL = 30 + 11.57 = 41.57 m
答え
H = 41.57 m
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 16.89 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (5 + 2·1.2)·1.2 = 8.88 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1.2·√(1 + 2²) = 10.37 m
R = A/P = 0.8566 m
速度
V = (1/0.015)·0.85662/3·0.0011/2 = 1.901 m/s
流量
Q = A·V = 8.88·1.901 = 16.89 m³/s
答え
Q = 16.89 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.003987 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (3 + 1.5·1)·1 = 4.5 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1·√(1 + 1.5²) = 6.606 m
R = A/P = 0.6812 m
マニングの式を S について解く
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.025·8.8/(4.5·0.7742) = 0.06315
S = 0.06315² = 0.003987
答え
S = 0.003987
これは 1 km あたり 3.987 m の落差です。
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