静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 2 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 3 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
大きな開放水槽から、直径 20 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 6 m 上に保たれ、流量係数は 0.62 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。
d = 20 mmh = 6 mCd = 0.62g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
水が、150 mm から 100 mm に細くなりながら 7 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 180 kPa、流速は 1.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 180 kPav1 = 1.5 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 100 m、内径 50 mm の水平管内を 1.2 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。
V = 1.2 m/sL = 100 mD = 50 mmf = 0.02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 200 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 50 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。
Q = 50 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
試験で、ポンプが揚程 78 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 25 L/s 送り、そのとき軸動力は 23.9 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。
Q = 25 L/sH = 78 mPshaft = 23.9 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 50 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 18 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 500 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 75% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 50 L/sΔz = 18 mL = 500 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 8η = 75%
Pshaft = kW
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
台形のきれいな土の水路の底幅は 4 m、側面勾配は 1.5:1（水平:鉛直）である。水は水深 1.6 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.022、水路床勾配は S = 0.002 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
b = 4 my = 1.6 mz = 1.5n = 0.022S = 0.002
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
内径 300 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 0.75 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。
D = 300 mmn = 0.013V = 0.75 m/s
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 117.7 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·4 = 117.7 kN
答え
F = 117.7 kN
2.静水圧
答え: F = 203.6 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·4.5·4.5 = 203.6 kN
答え
F = 203.6 kN
3.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 2.113 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
理想的な噴流速度
√(2gh) = √(2·9.81·6) = 10.85 m/s
実際の流量
流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。
Q = Cd·A·√(2gh) = 0.62·0.0003142·10.85 = 0.002113 m³/s = 2.113 L/s
答え
Q = 2.113 L/s
4.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 106.8 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 1.5·(150/100)² = 3.375 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.5² − 3.375²)/1000 = −4.57 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 180 + (−4.57) − 68.67 = 106.8 kPa
答え
p2 = 106.8 kPa
5.管摩擦と損失水頭
答え: Δp = 28.8 kPa
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失水頭
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(100/0.05)·1.2²/(2·9.81) = 2.936 m
圧力損失
管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·2.936 = 28800 Pa = 28.8 kPa
答え
Δp = 28.8 kPa
6.管摩擦と損失水頭
答え: Δz = 4.144 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s
V²/(2g) = 0.1291 m
損失係数
f·L/D = 0.02·200/0.2 = 20
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1
全損失水頭
hf = 20·0.1291 = 2.582 m
hm = 12.1·0.1291 = 1.562 m
Δz = hf + hm = 4.144 m
答え
Δz = 4.144 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: η = 80.04 %
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·78 = 19.13 kW
効率
η = Ph/Pshaft = 19.13/23.9 = 80.04%
答え
η = 80.04%
8.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 27.25 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0.408 = 23.67 m
ポンプ揚程
H = Δz + hL = 18 + 23.67 = 41.67 m
軸動力
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·41.67/0.75 = 27.25 kW
答え
Pshaft = 27.25 kW
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 21.48 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (4 + 1.5·1.6)·1.6 = 10.24 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1.6·√(1 + 1.5²) = 9.769 m
R = A/P = 1.048 m
速度
V = (1/0.022)·1.0482/3·0.0021/2 = 2.098 m/s
流量
Q = A·V = 10.24·2.098 = 21.48 m³/s
答え
Q = 21.48 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.003006 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
径深
R = D/4 = 0.3/4 = 0.075 m
マニングの式を S について解く
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.75/0.1778)² = 0.003006
答え
S = 0.003006
これは 1 km あたり 3.006 m の落差です。
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering