水理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2演習問題

1.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.連続の式とベルヌーイふつう

大きな開放水槽から、直径 30 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 2.5 m 上に保たれ、流量係数は 0.61 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d = 30 mmh = 2.5 mC_d = 0.61g = 9.81 m/s²

Q = L/s

4.連続の式とベルヌーイむずかしい

噴水のノズルが真上を向いている。ノズルのすぐ下で、供給管の直径は 50 mm、ゲージ圧は 80 kPa である。ノズル出口の直径は 20 mm で、ノズル前後の高さの差は無視できる。損失と空気抵抗を無視して、噴流がノズルより上に達する高さ H を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d₁ = 50 mmp₁ = 80 kPa (ゲージ圧)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

5.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 100 m、内径 100 mm の管内を 10 L/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

Q = 10 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管摩擦と損失水頭むずかしい

長さ 100 m、内径 150 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 60 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 60 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 10

H = m

7.ポンプとポンプ動力ふつう

効率 65% のポンプが揚程 42 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 30 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 30 L/sH = 42 mη = 65%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 50 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 5 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 400 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 5（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 400 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 5

H = m

9.開水路の流れ（マニング）ふつう

内径 600 mm のコンクリート製雨水管が、ちょうど満流で（圧力管ではなく開水路として）流れている。マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.0015 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

D = 600 mmn = 0.013S = 0.0015

Q = m³/s

10.開水路の流れ（マニング）むずかしい

底幅 5.5 m、側面勾配 2:1（水平:鉛直）の台形の砂利の水路は、水深 0.9 m の等流で 6.5 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.025。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 6.5 m³/sb = 5.5 my = 0.9 mz = 2n = 0.025

S = m/m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 88.29 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·4.5 = 88.29 kN

答え

F = 88.29 kN

2.静水圧

答え: y_cp = 2.048 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·5 = 85.84 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 2·2.5³/12 = 2.604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.75 + 2.604/(1.75·5) = 2.048 m

答え

y_cp = 2.048 m

3.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 3.02 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想的な噴流速度

√(2gh) = √(2·9.81·2.5) = 7.004 m/s

実際の流量

流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.61·0.0007069·7.004 = 0.00302 m³/s = 3.02 L/s

答え

Q = 3.02 L/s

4.連続の式とベルヌーイ

答え: H = 8.369 m

出口流速

β = 20/50 = 0.4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·80000/(1000·0.9744)) = 12.81 m/s

噴流の高さ

噴流に沿ったベルヌーイの式：最高点では流速は 0 で、圧力は再び大気圧です。

H = v₂²/(2g) = 12.81²/(2·9.81) = 8.369 m

答え

H = 8.369 m

5.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 1.239 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²

V = Q/A = 0.01/0.007854 = 1.273 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 1.273²/(2·9.81) = 0.08263 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(100/0.1)·1.273²/(2·9.81) = 1.239 m

答え

h_f = 1.239 m

6.管摩擦と損失水頭

答え: H = 15.73 m

速度

V = Q/A = 0.06/0.01767 = 3.395 m/s

V²/(2g) = 0.5876 m

損失係数

f·L/D = 0.022·100/0.15 = 14.67

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 = 11.1

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 14.67 + 11.1)·0.5876 = 15.73 m

答え

H = 15.73 m

7.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 19.02 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·42 = 12.36 kW

軸動力

P_shaft = P_h/η = 12.36/0.65 = 19.02 kW

答え

P_shaft = 19.02 kW

8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 28.8 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (53.33 + 5)·0.408 = 23.8 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + h_L = 5 + 23.8 = 28.8 m

答え

H = 28.8 m

9.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 0.2378 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = 0.2827 m², R = D/4 = 0.15 m

速度

V = (1/0.013)·0.15^2/3·0.0015^1/2 = 0.8411 m/s

流量

Q = A·V = 0.2827·0.8411 = 0.2378 m³/s

答え

Q = 0.2378 m³/s

10.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.001004 m/m

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (5.5 + 2·0.9)·0.9 = 6.57 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·0.9·√(1 + 2²) = 9.525 m

R = A/P = 0.6898 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·6.5/(6.57·0.7807) = 0.03168

S = 0.03168² = 0.001004

答え

S = 0.001004

これは 1 km あたり 1.004 m の落差です。

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