水理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2演習問題

1.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 0.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.連続の式とベルヌーイふつう

水が、200 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 330 kPa、流速は 2 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 330 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.連続の式とベルヌーイむずかしい

内径 40 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 0.5 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 3 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。点 C での絶対圧力 p_C を求めよ。大気圧は 101.3 kPa である。

d = 40 mmz_C = +0.5 mz₂ = −3 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

5.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 200 m、内径 100 mm の管内を平均流速 0.9 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.028、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

V = 0.9 m/sL = 200 mD = 100 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 300 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 50 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 50 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1.0

Δz = m

7.ポンプとポンプ動力ふつう

ポンプが揚程 12 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 60 L/s 送っている。ポンプ効率は 75%、これを駆動する電動機の効率は 95% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 P_el を kW で求めよ。

Q = 60 L/sH = 12 mη_pump = 75%η_motor = 95%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 30 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 13 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 300 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 30 L/sΔz = 13 mL = 300 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 8

H = m

9.開水路の流れ（マニング）ふつう

内径 300 mm のコンクリート製雨水管が半満流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.004 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

D = 300 mmn = 0.013S = 0.004

Q = m³/s

10.開水路の流れ（マニング）むずかしい

底幅 1.5 m、側面勾配 2:1（水平:鉛直）の台形のきれいな土の水路は、水深 2.2 m の等流で 14 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.022。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 14 m³/sb = 1.5 my = 2.2 mz = 2n = 0.022

S = m/m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 110.4 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·5 = 110.4 kN

答え

F = 110.4 kN

2.静水圧

答え: y_cp = 1.083 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1·1 = 12.36 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0.08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1 + 0.08333/(1·1) = 1.083 m

答え

y_cp = 1.083 m

3.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 230.9 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(200/75)² = 14.22 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 14.22²)/1000 = −99.14 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 330 + (−99.14) = 230.9 kPa

答え

p₂ = 230.9 kPa

4.連続の式とベルヌーイ

答え: p_C = 66.97 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·3) = √(2·9.81·3) = 7.672 m/s

水面から C へのベルヌーイの式

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(7.672²/2 + 9.81·0.5)/1000 = 101.3 − 34.34 = 66.97 kPa

答え

p_C = 66.97 kPa

この圧力が水の蒸気圧まで下がると、サイホンは働かなくなります。

5.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 2.312 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 0.9²/(2·9.81) = 0.04128 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(200/0.1)·0.9²/(2·9.81) = 2.312 m

答え

h_f = 2.312 m

6.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 1.327 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.04909 = 1.019 m/s

V²/(2g) = 0.05288 m

損失係数

f·L/D = 0.015·300/0.25 = 18

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1

全損失水頭

h_f = 18·0.05288 = 0.9519 m

h_m = 7.1·0.05288 = 0.3755 m

Δz = h_f + h_m = 1.327 m

答え

Δz = 1.327 m

7.ポンプとポンプ動力

答え: P_el = 9.913 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·12 = 7.063 kW

軸動力

P_shaft = 7.063/0.75 = 9.418 kW

電力

P_el = 9.418/0.95 = 9.913 kW

答え

P_el = 9.913 kW

8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 20.05 m

速度

V = Q/A = 0.03/0.01767 = 1.698 m/s

V²/(2g) = 0.1469 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 8)·0.1469 = 7.051 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + h_L = 13 + 7.051 = 20.05 m

答え

H = 20.05 m

9.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 0.03058 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = 0.03534 m², R = D/4 = 0.075 m

速度

V = (1/0.013)·0.075^2/3·0.004^1/2 = 0.8652 m/s

流量

Q = A·V = 0.03534·0.8652 = 0.03058 m³/s

答え

Q = 0.03058 m³/s

10.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.0004702 m/m

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (1.5 + 2·2.2)·2.2 = 12.98 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·2.2·√(1 + 2²) = 11.34 m

R = A/P = 1.145 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.022·14/(12.98·1.094) = 0.02168

S = 0.02168² = 0.0004702

答え

S = 0.0004702

これは 1 km あたり 0.4702 m の落差です。

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