水理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2演習問題

1.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.連続の式とベルヌーイふつう

入口径 200 mm、のど部径 150 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 20 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 20 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.連続の式とベルヌーイむずかしい

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 190 kPa の圧縮空気がある。水面より 4 m 下にある直径 40 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ流量 Q。 g = 9.81 m/s² とする。

p_air = 190 kPa (ゲージ圧)h = 4 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 300 m、内径 75 mm の水平管内を 1.2 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 1.2 m/sL = 300 mD = 75 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 150 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 39 m 高い。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。

Δz = 39 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1.0

Q = L/s

7.ポンプとポンプ動力ふつう

効率 75% のポンプが揚程 48 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 15 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 15 L/sH = 48 mη = 75%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 50 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 17 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 400 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 50 L/sΔz = 17 mL = 400 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 6

H = m

9.開水路の流れ（マニング）ふつう

内径 300 mm のコンクリート製雨水管が、ちょうど満流で（圧力管ではなく開水路として）流れている。マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.002 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

D = 300 mmn = 0.013S = 0.002

Q = m³/s

10.開水路の流れ（マニング）むずかしい

底幅 2 m、側面勾配 1.5:1（水平:鉛直）の台形の砂利の水路は、水深 1.1 m の等流で 2.8 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.025。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 2.8 m³/sb = 2 my = 1.1 mz = 1.5n = 0.025

S = m/m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 139.8 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.75·3 = 139.8 kN

答え

F = 139.8 kN

2.静水圧

答え: F = 163.4 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.25·5 = 163.4 kN

答え

F = 163.4 kN

3.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 135.2 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

連続の式

v₁ = v₂·(150/200)² = 0.5625·v₂

入口とのど部の間のベルヌーイの式

管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·20000/(1000·(1 − 0.3164))) = 7.649 m/s

v₁ = 4.303 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.01767·7.649 = 0.1352 m³/s = 135.2 L/s

答え

Q = 135.2 L/s

4.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 26.91 L/s

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(190000/1000 + 9.81·4)) = 21.41 m/s

流量

Q = A·v = 0.001257·21.41 = 0.02691 m³/s = 26.91 L/s

答え

Q = 26.91 L/s

5.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 51.84 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(300/0.075)·1.2²/(2·9.81) = 5.284 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·5.284 = 51840 Pa = 51.84 kPa

答え

Δp = 51.84 kPa

6.管摩擦と損失水頭

答え: Q = 99.57 L/s

損失係数

f·L/D = 0.02·150/0.15 = 20

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1

エネルギー式

どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。

39 = (20 + 4.1)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·39/24.1) = 5.635 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 5.635·0.01767 = 0.09957 m³/s = 99.57 L/s

答え

Q = 99.57 L/s

7.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 9.418 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·48 = 7.063 kW

軸動力

P_shaft = P_h/η = 7.063/0.75 = 9.418 kW

答え

P_shaft = 9.418 kW

8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 35.77 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 6)·0.408 = 18.77 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + h_L = 17 + 18.77 = 35.77 m

答え

H = 35.77 m

9.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 0.04325 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = 0.07069 m², R = D/4 = 0.075 m

速度

V = (1/0.013)·0.075^2/3·0.002^1/2 = 0.6118 m/s

流量

Q = A·V = 0.07069·0.6118 = 0.04325 m³/s

答え

Q = 0.04325 m³/s

10.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.0005154 m/m

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (2 + 1.5·1.1)·1.1 = 4.015 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1.1·√(1 + 1.5²) = 5.966 m

R = A/P = 0.673 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·2.8/(4.015·0.7679) = 0.0227

S = 0.0227² = 0.0005154

答え

S = 0.0005154

これは 1 km あたり 0.5154 m の落差です。

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