水理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2演習問題

1.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.連続の式とベルヌーイふつう

風洞内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 900 Pa を示す。空気の密度は 1.2 kg/m³ である。風速 v を求めよ。

p₀ − p = 900 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

4.連続の式とベルヌーイむずかしい

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 130 kPa の圧縮空気がある。水面より 2 m 下にある直径 25 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ流量 Q。 g = 9.81 m/s² とする。

p_air = 130 kPa (ゲージ圧)h = 2 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 150 m、内径 300 mm の管内を 200 L/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

Q = 200 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管摩擦と損失水頭むずかしい

長さ 150 m、内径 150 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 60 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 60 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5

H = m

7.ポンプとポンプ動力ふつう

試験で、ポンプが揚程 16 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 20 L/s 送り、そのとき軸動力は 5.2 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 20 L/sH = 16 mP_shaft = 5.2 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 15 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 16 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 300 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率は 80% である。軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 15 L/sΔz = 16 mL = 300 mD = 100 mmf = 0.015ΣK = 8η = 80%

P_shaft = kW

9.開水路の流れ（マニング）ふつう

長方形のれんが積みの水路の幅は 4 m である。水は水深 2.1 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.015、水路床勾配は S = 0.0008 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 4 my = 2.1 mn = 0.015S = 0.0008

Q = m³/s

10.開水路の流れ（マニング）むずかしい

内径 300 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 0.6 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。

D = 300 mmn = 0.013V = 0.6 m/s

S = m/m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 33.11 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·1.5 = 33.11 kN

答え

F = 33.11 kN

2.静水圧

答え: F = 25.9 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1·3 = 25.9 kN

答え

F = 25.9 kN

3.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 38.73 m/s

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

よどみ点へのベルヌーイの式

流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·900/1.2) = 38.73 m/s

答え

v = 38.73 m/s

4.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 8.491 L/s

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(130000/1000 + 9.81·2)) = 17.3 m/s

流量

Q = A·v = 0.0004909·17.3 = 0.008491 m³/s = 8.491 L/s

答え

Q = 8.491 L/s

5.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 6.121 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²

V = Q/A = 0.2/0.07069 = 2.829 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 2.829²/(2·9.81) = 0.408 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(150/0.3)·2.829²/(2·9.81) = 6.121 m

答え

h_f = 6.121 m

6.管摩擦と損失水頭

答え: H = 18.86 m

速度

V = Q/A = 0.06/0.01767 = 3.395 m/s

V²/(2g) = 0.5876 m

損失係数

f·L/D = 0.025·150/0.15 = 25

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 = 6.1

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 25 + 6.1)·0.5876 = 18.86 m

答え

H = 18.86 m

7.ポンプとポンプ動力

答え: η = 60.37 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·16 = 3.139 kW

効率

η = P_h/P_shaft = 3.139/5.2 = 60.37%

答え

η = 60.37%

8.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 4.755 kW

速度

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 8)·0.1859 = 9.853 m

ポンプ揚程

H = Δz + h_L = 16 + 9.853 = 25.85 m

軸動力

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.015·25.85/0.8 = 4.755 kW

答え

P_shaft = 4.755 kW

9.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 16.1 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 4·2.1 = 8.4 m²

P = b + 2y = 4 + 2·2.1 = 8.2 m

R = A/P = 1.024 m

速度

V = (1/0.015)·1.024^2/3·0.0008^1/2 = 1.916 m/s

流量

Q = A·V = 8.4·1.916 = 16.1 m³/s

答え

Q = 16.1 m³/s

10.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.001924 m/m

径深

R = D/4 = 0.3/4 = 0.075 m

マニングの式を S について解く

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.6/0.1778)² = 0.001924

答え

S = 0.001924

これは 1 km あたり 1.924 m の落差です。

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