静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 4 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 2.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
水が 27 L/s で、200 mm から 100 mm に細くなる水平管を流れる。細い部分の圧力は 190 kPa である。損失を無視して、太い部分の圧力 p1 を求めよ。
Q = 27 L/sd1 = 200 mmd2 = 100 mmp2 = 190 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
水平なベンチュリ管（入口 150 mm、のど部 75 mm）を水が流れる。入口とのど部の間に接続した水銀 U 字管マノメータの液面差は 70 mm である。流量係数は 0.97 である。流量 Q を求めよ。水は ρ = 1000 kg/m³、水銀は 13 600 kg/m³、g = 9.81 m/s² とする。
d1 = 150 mmd2 = 75 mmΔh = 70 mmCd = 0.97ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 1000 m、内径 300 mm の管内を 75 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.028、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
Q = 75 L/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 300 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 30 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。
Δz = 30 mL = 300 mD = 300 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ポンプとポンプ動力ふつう
ポンプが揚程 38 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 25 L/s 送っている。ポンプ効率は 82%、これを駆動する電動機の効率は 94% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。
Q = 25 L/sH = 38 mηpump = 82%ηmotor = 94%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 15 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 9 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 5（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 150 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 15 L/sΔz = 9 mL = 200 mD = 100 mmf = 0.02ΣK = 5ptank = 150 kPa
H = m
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
台形のれんが積みの水路の底幅は 5.5 m、側面勾配は 1:1（水平:鉛直）である。水は水深 0.7 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.015、水路床勾配は S = 0.001 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
b = 5.5 my = 0.7 mz = 1n = 0.015S = 0.001
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
底幅 6 m、側面勾配 2:1（水平:鉛直）の台形のれんが積みの水路は、 水深 2.2 m の等流で 44 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.015。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。
Q = 44 m³/sb = 6 my = 2.2 mz = 2n = 0.015
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 242.8 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5.5·4.5 = 242.8 kN
答え
F = 242.8 kN
2.静水圧
答え: ycp = 4.188 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·4·4.5 = 181 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4 + 3.375/(4·4.5) = 4.188 m
答え
ycp = 4.188 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: p1 = 195.5 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
流速
v1 = Q/A1 = 0.027/0.03142 = 0.8594 m/s
v2 = Q/A2 = 0.027/0.007854 = 3.438 m/s
ベルヌーイの定理
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 190 + ½·1000·(3.438² − 0.8594²)/1000 = 190 + 5.54 = 195.5 kPa
答え
p1 = 195.5 kPa
4.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 18.41 L/s
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
マノメータによる圧力差
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.07 = 8652 Pa
のど部の流速
連続の式とベルヌーイの式を組み合わせると、理想的なのど部の流速が得られます。
β = 75/150 = 0.5
v2 = √(2·8652/(1000·(1 − 0.0625))) = 4.296 m/s
実際の流量
Q = Cd·A2·v2 = 0.97·0.004418·4.296 = 0.01841 m³/s = 18.41 L/s
答え
Q = 18.41 L/s
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 5.355 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
平均流速
A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²
V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s
速度水頭
V²/(2g) = 1.061²/(2·9.81) = 0.05738 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(1000/0.3)·1.061²/(2·9.81) = 5.355 m
答え
hf = 5.355 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: Q = 314.7 L/s
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失係数
f·L/D = 0.025·300/0.3 = 25
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7
エネルギー式
どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。
30 = (25 + 4.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·30/29.7) = 4.452 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 4.452·0.07069 = 0.3147 m³/s = 314.7 L/s
答え
Q = 314.7 L/s
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pel = 12.09 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·38 = 9.319 kW
軸動力
Pshaft = 9.319/0.82 = 11.37 kW
電力
Pel = 11.37/0.94 = 12.09 kW
答え
Pel = 12.09 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: H = 32.66 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 5)·0.1859 = 8.366 m
圧力水頭
p/(ρ·g) = 150000/(1000·9.81) = 15.29 m
ポンプ揚程
どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 9 + 15.29 + 8.366 = 32.66 m
答え
H = 32.66 m
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 6.365 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (5.5 + 1·0.7)·0.7 = 4.34 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·0.7·√(1 + 1²) = 7.48 m
R = A/P = 0.5802 m
速度
V = (1/0.015)·0.58022/3·0.0011/2 = 1.467 m/s
流量
Q = A·V = 4.34·1.467 = 6.365 m³/s
答え
Q = 6.365 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.0005096 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (6 + 2·2.2)·2.2 = 22.88 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2.2·√(1 + 2²) = 15.84 m
R = A/P = 1.445 m
マニングの式を S について解く
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.015·44/(22.88·1.278) = 0.02257
S = 0.02257² = 0.0005096
答え
S = 0.0005096
これは 1 km あたり 0.5096 m の落差です。
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