水理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
径深
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形
A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）
R = D/4
必要な水路勾配
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 4 mH = 2 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 2.5 mH = 1 m

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 2.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
d1​ = 150 mmd2​ = 100 mm12p1​ − p2​ = 57 kPaQ = ?

入口径 150 mm、のど部径 100 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 57 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 − p2 = 57 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 150 mm, p1​ = 330 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 8 m

水が、150 mm から 75 mm に細くなりながら 8 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 330 kPa、流速は 3 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 330 kPav1 = 3 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 0.8 m/sD = 150 mmL = 300 mf = 0.018

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 300 m、内径 150 mm の水平管内を 0.8 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 0.8 m/sL = 300 mD = 150 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 2自由放出口H = ?L = 100 m, D = 200 mm, f = 0.0224× 曲がり (K = 0.3)

長さ 100 m、内径 200 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 60 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 60 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 2
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 15 L/sH = 56 m

試験で、ポンプが揚程 56 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 15 L/s 送り、そのとき軸動力は 11.8 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 15 L/sH = 56 mPshaft = 11.8 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
250 kPa (ゲージ圧)PQ = 120 L/sΔz = 17 mL = 400 m, D = 250 mm, f = 0.015, ΣK = 6

ポンプが 120 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 17 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 400 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 250 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 120 L/sΔz = 17 mL = 400 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 6ptank = 250 kPa
H = m
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
D = 750 mmn = 0.013, S = 0.001

内径 750 mm のコンクリート製雨水管が半満流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.001 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

D = 750 mmn = 0.013S = 0.001
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
b = 4 my = 1.4 mn = 0.03, Q = 7.3 m³/s

幅 4 m の長方形の芝で覆われた土の水路は、 水深 1.4 m の等流で 7.3 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.03。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 7.3 m³/sb = 4 my = 1.4 mn = 0.03
S = m/m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 98.1 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
ゲートd = 4 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5·2 = 98.1 kN

答え

F = 98.1 kN
2.静水圧

答え: ycp = 3.028 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
ゲートd = 2.5 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·3·2 = 60.33 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0.1667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 0.1667/(3·2) = 3.028 m

答え

ycp = 3.028 m
3.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 93.61 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

連続の式

v1 = v2·(100/150)² = 0.4444·v2

入口とのど部の間のベルヌーイの式

管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·57000/(1000·(1 − 0.1975))) = 11.92 m/s
v1 = 5.297 m/s

流量

Q = A2·v2 = 0.007854·11.92 = 0.09361 m³/s = 93.61 L/s

答え

Q = 93.61 L/s
4.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 184 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(150/75)² = 12 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67.5 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 330 + (−67.5) − 78.48 = 184 kPa

答え

p2 = 184 kPa
5.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 11.52 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(300/0.15)·0.8²/(2·9.81) = 1.174 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·1.174 = 11520 Pa = 11.52 kPa

答え

Δp = 11.52 kPa
6.管摩擦と損失水頭

答え: H = 2.919 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m

損失係数

f·L/D = 0.022·100/0.2 = 11
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 = 3.7

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 11 + 3.7)·0.1859 = 2.919 m

答え

H = 2.919 m
7.ポンプとポンプ動力

答え: η = 69.83 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·56 = 8.24 kW

効率

η = Ph/Pshaft = 8.24/11.8 = 69.83%

答え

η = 69.83%
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 51.62 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 6)·0.3046 = 9.138 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9.81) = 25.48 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 17 + 25.48 + 9.138 = 51.62 m

答え

H = 51.62 m
9.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 0.176 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = 0.2209 m², R = D/4 = 0.1875 m

速度

V = (1/0.013)·0.18752/3·0.0011/2 = 0.7969 m/s

流量

Q = A·V = 0.2209·0.7969 = 0.176 m³/s

答え

Q = 0.176 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.001981 m/m

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 4·1.4 = 5.6 m²
P = b + 2y = 4 + 2·1.4 = 6.8 m
R = A/P = 0.8235 m

マニングの式を S について解く

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.03·7.3/(5.6·0.8786) = 0.04451
S = 0.04451² = 0.001981

答え

S = 0.001981

これは 1 km あたり 1.981 m の落差です。

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