静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 1 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
水が、100 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 400 kPa、流速は 2 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 400 kPav1 = 2 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
内径 40 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 2.5 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 3 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 流量 Q を求めよ。
d = 40 mmzC = +2.5 mz2 = −3 mg = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 50 m、内径 250 mm の管内を 80 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
Q = 80 L/sL = 50 mD = 250 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 25 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。
Q = 25 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
効率 75% のポンプが揚程 40 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 50 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 50 L/sH = 40 mη = 75%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 50 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 8 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 3（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 250 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 50 L/sΔz = 8 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 3ptank = 250 kPa
H = m
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
長方形の砂利の水路の幅は 6 m である。水は水深 1.4 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.025、水路床勾配は S = 0.002 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
b = 6 my = 1.4 mn = 0.025S = 0.002
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
内径 600 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 0.75 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。
D = 600 mmn = 0.013V = 0.75 m/s
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 157 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·4 = 157 kN
答え
F = 157 kN
2.静水圧
答え: ycp = 2.481 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·2.25·2.5 = 48.56 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.25 + 1.302/(2.25·2.5) = 2.481 m
答え
ycp = 2.481 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 370 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(100/50)² = 8 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 400 + (−30) = 370 kPa
答え
p2 = 370 kPa
4.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 9.641 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ホース内の流速
水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。
v = √(2g·3) = √(2·9.81·3) = 7.672 m/s
流量
Q = A·v = 0.001257·7.672 = 0.009641 m³/s = 9.641 L/s
答え
Q = 9.641 L/s
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 0.4874 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
平均流速
A = π·0.25²/4 = 0.04909 m²
V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s
速度水頭
V²/(2g) = 1.63²/(2·9.81) = 0.1354 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(50/0.25)·1.63²/(2·9.81) = 0.4874 m
答え
hf = 0.4874 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: Δz = 16.73 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.025/0.007854 = 3.183 m/s
V²/(2g) = 0.5164 m
損失係数
f·L/D = 0.02·100/0.1 = 20
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4
全損失水頭
hf = 20·0.5164 = 10.33 m
hm = 12.4·0.5164 = 6.404 m
Δz = hf + hm = 16.73 m
答え
Δz = 16.73 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 26.16 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·40 = 19.62 kW
軸動力
Pshaft = Ph/η = 19.62/0.75 = 26.16 kW
答え
Pshaft = 26.16 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: H = 45.59 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26.67 + 3)·0.408 = 12.11 m
圧力水頭
p/(ρ·g) = 250000/(1000·9.81) = 25.48 m
ポンプ揚程
どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 8 + 25.48 + 12.11 = 45.59 m
答え
H = 45.59 m
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 14.57 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = b·y = 6·1.4 = 8.4 m²
P = b + 2y = 6 + 2·1.4 = 8.8 m
R = A/P = 0.9545 m
速度
V = (1/0.025)·0.95452/3·0.0021/2 = 1.734 m/s
流量
Q = A·V = 8.4·1.734 = 14.57 m³/s
答え
Q = 14.57 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.001193 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
径深
R = D/4 = 0.6/4 = 0.15 m
マニングの式を S について解く
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.75/0.2823)² = 0.001193
答え
S = 0.001193
これは 1 km あたり 1.193 m の落差です。
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