静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 2.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 3 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
水が、100 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 150 kPa、流速は 2.25 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 150 kPav1 = 2.25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
内径 20 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 2 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 1 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 点 C での絶対圧力 pC を求めよ。大気圧は 101.3 kPa である。
d = 20 mmzC = +2 mz2 = −1 mg = 9.81 m/s²patm = 101.3 kPa
pC = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 400 m、内径 50 mm の管内を 4 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
Q = 4 L/sL = 400 mD = 50 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 150 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 22 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。
Δz = 22 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ポンプとポンプ動力ふつう
ポンプが揚程 18 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 80 L/s 送っている。ポンプ効率は 85%、これを駆動する電動機の効率は 88% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。
Q = 80 L/sH = 18 mηpump = 85%ηmotor = 88%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 120 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 7 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 200 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 120 L/sΔz = 7 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.02ΣK = 8ptank = 200 kPa
H = m
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
内径 450 mm のコンクリート製雨水管が、ちょうど満流で（圧力管ではなく開水路として）流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.002 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
D = 450 mmn = 0.013S = 0.002
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
内径 450 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 1 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。
D = 450 mmn = 0.013V = 1 m/s
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 235.4 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·6 = 235.4 kN
答え
F = 235.4 kN
2.静水圧
答え: F = 110.4 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.75·3 = 110.4 kN
答え
F = 110.4 kN
3.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 112 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 2.25·(100/50)² = 9 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.25² − 9²)/1000 = −37.97 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 150 + (−37.97) = 112 kPa
答え
p2 = 112 kPa
4.連続の式とベルヌーイ
答え: pC = 71.87 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ホース内の流速
水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。
v = √(2g·1) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s
水面から C へのベルヌーイの式
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101.3 − 1000·(4.429²/2 + 9.81·2)/1000 = 101.3 − 29.43 = 71.87 kPa
答え
pC = 71.87 kPa
この圧力が水の蒸気圧まで下がると、サイホンは働かなくなります。
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 42.3 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
平均流速
A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²
V = Q/A = 0.004/0.001963 = 2.037 m/s
速度水頭
V²/(2g) = 2.037²/(2·9.81) = 0.2115 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(400/0.05)·2.037²/(2·9.81) = 42.3 m
答え
hf = 42.3 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: Q = 128.4 L/s
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失係数
f·L/D = 0.025·150/0.2 = 18.75
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1
エネルギー式
どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。
22 = (18.75 + 7.1)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·22/25.85) = 4.086 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 4.086·0.03142 = 0.1284 m³/s = 128.4 L/s
答え
Q = 128.4 L/s
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pel = 18.89 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·18 = 14.13 kW
軸動力
Pshaft = 14.13/0.85 = 16.62 kW
電力
Pel = 16.62/0.88 = 18.89 kW
答え
Pel = 18.89 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: H = 34.7 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16 + 8)·0.3046 = 7.31 m
圧力水頭
p/(ρ·g) = 200000/(1000·9.81) = 20.39 m
ポンプ揚程
どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 7 + 20.39 + 7.31 = 34.7 m
答え
H = 34.7 m
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 0.1275 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = 0.159 m², R = D/4 = 0.1125 m
速度
V = (1/0.013)·0.11252/3·0.0021/2 = 0.8017 m/s
流量
Q = A·V = 0.159·0.8017 = 0.1275 m³/s
答え
Q = 0.1275 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.003112 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
径深
R = D/4 = 0.45/4 = 0.1125 m
マニングの式を S について解く
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·1/0.233)² = 0.003112
答え
S = 0.003112
これは 1 km あたり 3.112 m の落差です。
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