静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 1.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 2 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
水が、100 mm から 25 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 220 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。
d1 = 100 mmd2 = 25 mmp1 = 220 kPav1 = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
水が、100 mm から 50 mm に細くなりながら 10 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 370 kPa、流速は 1.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 370 kPav1 = 1.75 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 100 m、内径 250 mm の管内を 25 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
Q = 25 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
長さ 100 m、内径 250 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 100 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。
Q = 100 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 5
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
試験で、ポンプが揚程 28 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 10 L/s 送り、そのとき軸動力は 3.4 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。
Q = 10 L/sH = 28 mPshaft = 3.4 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 75 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 12 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 4（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 82% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 75 L/sΔz = 12 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 4η = 82%
Pshaft = kW
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
台形のれんが積みの水路の底幅は 6 m、側面勾配は 1.5:1（水平:鉛直）である。水は水深 1.6 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.015、水路床勾配は S = 0.005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
b = 6 my = 1.6 mz = 1.5n = 0.015S = 0.005
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
幅 3 m の長方形の砂利の水路は、 水深 1.3 m の等流で 7.8 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.025。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。
Q = 7.8 m³/sb = 3 my = 1.3 mn = 0.025
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 19.62 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·1 = 19.62 kN
答え
F = 19.62 kN
2.静水圧
答え: ycp = 3.41 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·3.25·3.75 = 122.5 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 1.5·2.5³/12 = 1.953 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.25 + 1.953/(3.25·3.75) = 3.41 m
答え
ycp = 3.41 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 148.3 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 0.75·(100/25)² = 12 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.75² − 12²)/1000 = −71.72 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 220 + (−71.72) = 148.3 kPa
答え
p2 = 148.3 kPa
4.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 248.9 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 1.75·(100/50)² = 7 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.75² − 7²)/1000 = −22.97 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·10/1000 = 98.1 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 370 + (−22.97) − 98.1 = 248.9 kPa
答え
p2 = 248.9 kPa
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 0.1322 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
平均流速
A = π·0.25²/4 = 0.04909 m²
V = Q/A = 0.025/0.04909 = 0.5093 m/s
速度水頭
V²/(2g) = 0.5093²/(2·9.81) = 0.01322 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(100/0.25)·0.5093²/(2·9.81) = 0.1322 m
答え
hf = 0.1322 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: H = 3.088 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m
損失係数
f·L/D = 0.018·100/0.25 = 7.2
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 = 6.4
エネルギー式
出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。
H = (1 + 7.2 + 6.4)·0.2115 = 3.088 m
答え
H = 3.088 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: η = 80.79 %
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·28 = 2.747 kW
効率
η = Ph/Pshaft = 2.747/3.4 = 80.79%
答え
η = 80.79%
8.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 13.76 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7.5 + 4)·0.2905 = 3.341 m
ポンプ揚程
H = Δz + hL = 12 + 3.341 = 15.34 m
軸動力
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·15.34/0.82 = 13.76 kW
答え
Pshaft = 13.76 kW
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 69.22 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (6 + 1.5·1.6)·1.6 = 13.44 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1.6·√(1 + 1.5²) = 11.77 m
R = A/P = 1.142 m
速度
V = (1/0.015)·1.1422/3·0.0051/2 = 5.15 m/s
流量
Q = A·V = 13.44·5.15 = 69.22 m³/s
答え
Q = 69.22 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.00405 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = b·y = 3·1.3 = 3.9 m²
P = b + 2y = 3 + 2·1.3 = 5.6 m
R = A/P = 0.6964 m
マニングの式を S について解く
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.025·7.8/(3.9·0.7857) = 0.06364
S = 0.06364² = 0.00405
答え
S = 0.00405
これは 1 km あたり 4.05 m の落差です。
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