静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 1.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 0.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
入口径 300 mm、のど部径 150 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 30 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。
d1 = 300 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 30 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
噴水のノズルが真上を向いている。ノズルのすぐ下で、供給管の直径は 100 mm、ゲージ圧は 90 kPa である。ノズル出口の直径は 25 mm で、ノズル前後の高さの差は無視できる。損失と空気抵抗を無視して、噴流がノズルより上に達する高さ H を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。
d1 = 100 mmp1 = 90 kPa (ゲージ圧)d2 = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 150 m、内径 100 mm の管内を平均流速 1.6 m/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
V = 1.6 m/sL = 150 mD = 100 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 200 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 0.2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 50 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。
Q = 50 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
効率 75% のポンプが揚程 48 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 15 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 15 L/sH = 48 mη = 75%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 75 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 6 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 300 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 75% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 75 L/sΔz = 6 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 6η = 75%
Pshaft = kW
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
台形の芝で覆われた土の水路の底幅は 3 m、側面勾配は 3:1（水平:鉛直）である。水は水深 1.4 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.03、水路床勾配は S = 0.001 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
b = 3 my = 1.4 mz = 3n = 0.03S = 0.001
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
幅 5 m の長方形のきれいな土の水路は、 水深 2.5 m の等流で 15 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.022。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。
Q = 15 m³/sb = 5 my = 2.5 mn = 0.022
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 132.4 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·4.5 = 132.4 kN
答え
F = 132.4 kN
2.静水圧
答え: F = 17.27 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·1·2 = 17.27 kN
答え
F = 17.27 kN
3.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 141.4 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
連続の式
v1 = v2·(150/300)² = 0.25·v2
入口とのど部の間のベルヌーイの式
管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·30000/(1000·(1 − 0.0625))) = 8 m/s
v1 = 2 m/s
流量
Q = A2·v2 = 0.01767·8 = 0.1414 m³/s = 141.4 L/s
答え
Q = 141.4 L/s
4.連続の式とベルヌーイ
答え: H = 9.21 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
出口流速
β = 25/100 = 0.25
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·90000/(1000·0.9961)) = 13.44 m/s
噴流の高さ
噴流に沿ったベルヌーイの式：最高点では流速は 0 で、圧力は再び大気圧です。
H = v2²/(2g) = 13.44²/(2·9.81) = 9.21 m
答え
H = 9.21 m
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 2.936 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度水頭
V²/(2g) = 1.6²/(2·9.81) = 0.1305 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(150/0.1)·1.6²/(2·9.81) = 2.936 m
答え
hf = 2.936 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: Δz = 2.956 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s
V²/(2g) = 0.1291 m
損失係数
f·L/D = 0.02·200/0.2 = 20
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.9
全損失水頭
hf = 20·0.1291 = 2.582 m
hm = 2.9·0.1291 = 0.3744 m
Δz = hf + hm = 2.956 m
答え
Δz = 2.956 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 9.418 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·48 = 7.063 kW
軸動力
Pshaft = Ph/η = 7.063/0.75 = 9.418 kW
答え
Pshaft = 9.418 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 17 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 6)·0.2905 = 11.33 m
ポンプ揚程
H = Δz + hL = 6 + 11.33 = 17.33 m
軸動力
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·17.33/0.75 = 17 kW
答え
Pshaft = 17 kW
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 9.537 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (3 + 3·1.4)·1.4 = 10.08 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1.4·√(1 + 3²) = 11.85 m
R = A/P = 0.8503 m
速度
V = (1/0.03)·0.85032/3·0.0011/2 = 0.9461 m/s
流量
Q = A·V = 10.08·0.9461 = 9.537 m³/s
答え
Q = 9.537 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.0005176 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = b·y = 5·2.5 = 12.5 m²
P = b + 2y = 5 + 2·2.5 = 10 m
R = A/P = 1.25 m
マニングの式を S について解く
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.022·15/(12.5·1.16) = 0.02275
S = 0.02275² = 0.0005176
答え
S = 0.0005176
これは 1 km あたり 0.5176 m の落差です。
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