静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 1 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 1.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
水が、200 mm から 100 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 250 kPa、流速は 2.25 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 250 kPav1 = 2.25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
噴水のノズルが真上を向いている。ノズルのすぐ下で、供給管の直径は 75 mm、ゲージ圧は 50 kPa である。ノズル出口の直径は 40 mm で、ノズル前後の高さの差は無視できる。損失と空気抵抗を無視して、噴流がノズルより上に達する高さ H を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。
d1 = 75 mmp1 = 50 kPa (ゲージ圧)d2 = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 800 m、内径 100 mm の管内を平均流速 2.6 m/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
V = 2.6 m/sL = 800 mD = 100 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 200 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 150 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。
Q = 150 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
効率 60% のポンプが揚程 40 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 80 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 80 L/sH = 40 mη = 60%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 75 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 11 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 500 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 5（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 85% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 75 L/sΔz = 11 mL = 500 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 5η = 85%
Pshaft = kW
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
台形の砂利の水路の底幅は 4.5 m、側面勾配は 1:1（水平:鉛直）である。水は水深 0.7 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.025、水路床勾配は S = 0.001 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
b = 4.5 my = 0.7 mz = 1n = 0.025S = 0.001
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
底幅 4 m、側面勾配 3:1（水平:鉛直）の台形の砂利の水路は、 水深 2.5 m の等流で 33 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.025。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。
Q = 33 m³/sb = 4 my = 2.5 mz = 3n = 0.025
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 165.5 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.25·7.5 = 165.5 kN
答え
F = 165.5 kN
2.静水圧
答え: ycp = 2.042 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2·2 = 49.44 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0.1667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 0.1667/(2·2) = 2.042 m
答え
ycp = 2.042 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 212 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 2.25·(200/100)² = 9 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.25² − 9²)/1000 = −37.97 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 250 + (−37.97) = 212 kPa
答え
p2 = 212 kPa
4.連続の式とベルヌーイ
答え: H = 5.546 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
出口流速
β = 40/75 = 0.5333
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·50000/(1000·0.9191)) = 10.43 m/s
噴流の高さ
噴流に沿ったベルヌーイの式：最高点では流速は 0 で、圧力は再び大気圧です。
H = v2²/(2g) = 10.43²/(2·9.81) = 5.546 m
答え
H = 5.546 m
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 41.35 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度水頭
V²/(2g) = 2.6²/(2·9.81) = 0.3445 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(800/0.1)·2.6²/(2·9.81) = 41.35 m
答え
hf = 41.35 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: Δz = 3.833 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.15/0.07069 = 2.122 m/s
V²/(2g) = 0.2295 m
損失係数
f·L/D = 0.018·200/0.3 = 12
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7
全損失水頭
hf = 12·0.2295 = 2.754 m
hm = 4.7·0.2295 = 1.079 m
Δz = hf + hm = 3.833 m
答え
Δz = 3.833 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 52.32 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·40 = 31.39 kW
軸動力
Pshaft = Ph/η = 31.39/0.6 = 52.32 kW
答え
Pshaft = 52.32 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 20.21 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37.5 + 5)·0.2905 = 12.35 m
ポンプ揚程
H = Δz + hL = 11 + 12.35 = 23.35 m
軸動力
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·23.35/0.85 = 20.21 kW
答え
Pshaft = 20.21 kW
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 3.135 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (4.5 + 1·0.7)·0.7 = 3.64 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4.5 + 2·0.7·√(1 + 1²) = 6.48 m
R = A/P = 0.5617 m
速度
V = (1/0.025)·0.56172/3·0.0011/2 = 0.8612 m/s
流量
Q = A·V = 3.64·0.8612 = 3.135 m³/s
答え
Q = 3.135 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.0005012 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (4 + 3·2.5)·2.5 = 28.75 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·2.5·√(1 + 3²) = 19.81 m
R = A/P = 1.451 m
マニングの式を S について解く
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.025·33/(28.75·1.282) = 0.02239
S = 0.02239² = 0.0005012
答え
S = 0.0005012
これは 1 km あたり 0.5012 m の落差です。
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