静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 1.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 1 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
水が、100 mm から 25 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 150 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。
d1 = 100 mmd2 = 25 mmp1 = 150 kPav1 = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 50 kPa の圧縮空気がある。水面より 4.5 m 下にある直径 40 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ 噴流速度 v。 g = 9.81 m/s² とする。
pair = 50 kPa (ゲージ圧)h = 4.5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
v = m/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 800 m、内径 300 mm の水平管内を 1.5 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。
V = 1.5 m/sL = 800 mD = 300 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
長さ 200 m、内径 250 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 50 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。
Q = 50 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 5
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
試験で、ポンプが揚程 56 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 150 L/s 送り、そのとき軸動力は 105.6 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。
Q = 150 L/sH = 56 mPshaft = 105.6 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 20 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 13 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 300 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 5（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 78% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 20 L/sΔz = 13 mL = 300 mD = 100 mmf = 0.015ΣK = 5η = 78%
Pshaft = kW
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
内径 300 mm のコンクリート製雨水管が、ちょうど満流で（圧力管ではなく開水路として）流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.003 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
D = 300 mmn = 0.013S = 0.003
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
内径 450 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 0.75 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。
D = 450 mmn = 0.013V = 0.75 m/s
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 264.9 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·9 = 264.9 kN
答え
F = 264.9 kN
2.静水圧
答え: ycp = 2.481 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2.25·5 = 139.1 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 2·2.5³/12 = 2.604 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.25 + 2.604/(2.25·5) = 2.481 m
答え
ycp = 2.481 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 118.1 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(100/25)² = 8 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 8²)/1000 = −31.88 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 150 + (−31.88) = 118.1 kPa
答え
p2 = 118.1 kPa
4.連続の式とベルヌーイ
答え: v = 13.72 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
水面から噴流へのベルヌーイの式
v = √(2·(50000/1000 + 9.81·4.5)) = 13.72 m/s
答え
v = 13.72 m/s
5.管摩擦と損失水頭
答え: Δp = 66 kPa
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失水頭
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(800/0.3)·1.5²/(2·9.81) = 6.728 m
圧力損失
管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·6.728 = 66000 Pa = 66 kPa
答え
Δp = 66 kPa
6.管摩擦と損失水頭
答え: H = 1.237 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.05/0.04909 = 1.019 m/s
V²/(2g) = 0.05288 m
損失係数
f·L/D = 0.02·200/0.25 = 16
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 = 6.4
エネルギー式
出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。
H = (1 + 16 + 6.4)·0.05288 = 1.237 m
答え
H = 1.237 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: η = 78.03 %
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·56 = 82.4 kW
効率
η = Ph/Pshaft = 82.4/105.6 = 78.03%
答え
η = 78.03%
8.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 7.427 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 5)·0.3305 = 16.53 m
ポンプ揚程
H = Δz + hL = 13 + 16.53 = 29.53 m
軸動力
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.02·29.53/0.78 = 7.427 kW
答え
Pshaft = 7.427 kW
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 0.05297 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = 0.07069 m², R = D/4 = 0.075 m
速度
V = (1/0.013)·0.0752/3·0.0031/2 = 0.7493 m/s
流量
Q = A·V = 0.07069·0.7493 = 0.05297 m³/s
答え
Q = 0.05297 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.00175 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
径深
R = D/4 = 0.45/4 = 0.1125 m
マニングの式を S について解く
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.75/0.233)² = 0.00175
答え
S = 0.00175
これは 1 km あたり 1.75 m の落差です。
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