水理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2演習問題

1.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.連続の式とベルヌーイふつう

水が、100 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 280 kPa、流速は 2.25 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 280 kPav₁ = 2.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.連続の式とベルヌーイむずかしい

内径 20 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 0.5 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 4.5 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。点 C での絶対圧力 p_C を求めよ。大気圧は 101.3 kPa である。

d = 20 mmz_C = +0.5 mz₂ = −4.5 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

5.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 200 m、内径 100 mm の管内を平均流速 1.9 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

V = 1.9 m/sL = 200 mD = 100 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 200 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 の管でつながれている。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 40 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 40 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1.0

Δz = m

7.ポンプとポンプ動力ふつう

効率 75% のポンプが揚程 42 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 60 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 60 L/sH = 42 mη = 75%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 10 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 7 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率は 70% である。軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 10 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.015ΣK = 8η = 70%

P_shaft = kW

9.開水路の流れ（マニング）ふつう

長方形のきれいな土の水路の幅は 1 m である。水は水深 2 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.022、水路床勾配は S = 0.0005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 1 my = 2 mn = 0.022S = 0.0005

Q = m³/s

10.開水路の流れ（マニング）むずかしい

底幅 3.5 m、側面勾配 1:1（水平:鉛直）の台形の砂利の水路は、水深 0.8 m の等流で 6.2 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.025。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 6.2 m³/sb = 3.5 my = 0.8 mz = 1n = 0.025

S = m/m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 68.67 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·2 = 68.67 kN

答え

F = 68.67 kN

2.静水圧

答え: y_cp = 1.556 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1.5·3 = 38.85 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 0.25/(1.5·3) = 1.556 m

答え

y_cp = 1.556 m

3.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 274.5 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(100/75)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 4²)/1000 = −5.469 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 280 + (−5.469) = 274.5 kPa

答え

p₂ = 274.5 kPa

4.連続の式とベルヌーイ

答え: p_C = 52.25 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·4.5) = √(2·9.81·4.5) = 9.396 m/s

水面から C へのベルヌーイの式

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(9.396²/2 + 9.81·0.5)/1000 = 101.3 − 49.05 = 52.25 kPa

答え

p_C = 52.25 kPa

この圧力が水の蒸気圧まで下がると、サイホンは働かなくなります。

5.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 6.624 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 1.9²/(2·9.81) = 0.184 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(200/0.1)·1.9²/(2·9.81) = 6.624 m

答え

h_f = 6.624 m

6.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 8.896 m

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

損失係数

f·L/D = 0.02·200/0.15 = 26.67

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4

全損失水頭

h_f = 26.67·0.2611 = 6.964 m

h_m = 7.4·0.2611 = 1.932 m

Δz = h_f + h_m = 8.896 m

答え

Δz = 8.896 m

7.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 32.96 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·42 = 24.72 kW

軸動力

P_shaft = P_h/η = 24.72/0.75 = 32.96 kW

答え

P_shaft = 32.96 kW

8.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 1.334 kW

速度

V = Q/A = 0.01/0.007854 = 1.273 m/s

V²/(2g) = 0.08263 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22.5 + 8)·0.08263 = 2.52 m

ポンプ揚程

H = Δz + h_L = 7 + 2.52 = 9.52 m

軸動力

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.01·9.52/0.7 = 1.334 kW

答え

P_shaft = 1.334 kW

9.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 1.104 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 1·2 = 2 m²

P = b + 2y = 1 + 2·2 = 5 m

R = A/P = 0.4 m

速度

V = (1/0.022)·0.4^2/3·0.0005^1/2 = 0.5518 m/s

流量

Q = A·V = 2·0.5518 = 1.104 m³/s

答え

Q = 1.104 m³/s

10.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.004039 m/m

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1·0.8)·0.8 = 3.44 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·0.8·√(1 + 1²) = 5.763 m

R = A/P = 0.5969 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·6.2/(3.44·0.709) = 0.06356

S = 0.06356² = 0.004039

答え

S = 0.004039

これは 1 km あたり 4.039 m の落差です。

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