静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 2 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 2.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
風洞内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 50 Pa を示す。空気の密度は 1.2 kg/m³ である。風速 v を求めよ。
p0 − p = 50 Paρ = 1.2 kg/m³
v = m/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
噴水のノズルが真上を向いている。ノズルのすぐ下で、供給管の直径は 75 mm、ゲージ圧は 40 kPa である。ノズル出口の直径は 25 mm で、ノズル前後の高さの差は無視できる。損失と空気抵抗を無視して、噴流がノズルより上に達する高さ H を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。
d1 = 75 mmp1 = 40 kPa (ゲージ圧)d2 = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 100 m、内径 200 mm の水平管内を 1.9 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。
V = 1.9 m/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 30 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。
Δz = 30 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ポンプとポンプ動力ふつう
試験で、ポンプが揚程 62 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 150 L/s 送り、そのとき軸動力は 126.7 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。
Q = 150 L/sH = 62 mPshaft = 126.7 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 100 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 17 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 100 L/sΔz = 17 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.025ΣK = 6
H = m
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
台形の砂利の水路の底幅は 4 m、側面勾配は 2:1（水平:鉛直）である。水は水深 2.2 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.025、水路床勾配は S = 0.0015 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
b = 4 my = 2.2 mz = 2n = 0.025S = 0.0015
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
内径 600 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 1.2 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。
D = 600 mmn = 0.013V = 1.2 m/s
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 154.5 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·4.5 = 154.5 kN
答え
F = 154.5 kN
2.静水圧
答え: ycp = 3.595 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·3.5·2 = 86.52 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0.6667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.5 + 0.6667/(3.5·2) = 3.595 m
答え
ycp = 3.595 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: v = 9.129 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
よどみ点へのベルヌーイの式
流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·50/1.2) = 9.129 m/s
答え
v = 9.129 m/s
4.連続の式とベルヌーイ
答え: H = 4.128 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
出口流速
β = 25/75 = 0.3333
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·40000/(1000·0.9877)) = 9 m/s
噴流の高さ
噴流に沿ったベルヌーイの式：最高点では流速は 0 で、圧力は再び大気圧です。
H = v2²/(2g) = 9²/(2·9.81) = 4.128 m
答え
H = 4.128 m
5.管摩擦と損失水頭
答え: Δp = 13.54 kPa
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失水頭
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(100/0.2)·1.9²/(2·9.81) = 1.38 m
圧力損失
管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·1.38 = 13537 Pa = 13.54 kPa
答え
Δp = 13.54 kPa
6.管摩擦と損失水頭
答え: Q = 38.57 L/s
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失係数
f·L/D = 0.02·100/0.1 = 20
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4
エネルギー式
どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。
30 = (20 + 4.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·30/24.4) = 4.912 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 4.912·0.007854 = 0.03857 m³/s = 38.57 L/s
答え
Q = 38.57 L/s
7.ポンプとポンプ動力
答え: η = 72.01 %
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·62 = 91.23 kW
効率
η = Ph/Pshaft = 91.23/126.7 = 72.01%
答え
η = 72.01%
8.ポンプとポンプ動力
答え: H = 21.44 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 6)·0.2115 = 4.442 m
ポンプ揚程
どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。
H = Δz + hL = 17 + 4.442 = 21.44 m
答え
H = 21.44 m
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 34.72 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (4 + 2·2.2)·2.2 = 18.48 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·2.2·√(1 + 2²) = 13.84 m
R = A/P = 1.335 m
速度
V = (1/0.025)·1.3352/3·0.00151/2 = 1.879 m/s
流量
Q = A·V = 18.48·1.879 = 34.72 m³/s
答え
Q = 34.72 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.003053 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
径深
R = D/4 = 0.6/4 = 0.15 m
マニングの式を S について解く
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·1.2/0.2823)² = 0.003053
答え
S = 0.003053
これは 1 km あたり 3.053 m の落差です。
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering