静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 1 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
水道管内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 36 kPa を示す。先端での水の流速 v を求めよ。
p0 − p = 36 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
内径 50 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 2 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 2.5 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 流量 Q を求めよ。
d = 50 mmzC = +2 mz2 = −2.5 mg = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 150 m、内径 50 mm の水平管内を 1.8 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。
V = 1.8 m/sL = 150 mD = 50 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 7 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。
Δz = 7 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ポンプとポンプ動力ふつう
ポンプが揚程 70 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 20 L/s 送っている。ポンプ効率は 78%、これを駆動する電動機の効率は 92% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。
Q = 20 L/sH = 70 mηpump = 78%ηmotor = 92%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 60 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 6 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 500 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 75% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 60 L/sΔz = 6 mL = 500 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 8η = 75%
Pshaft = kW
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
内径 1200 mm のコンクリート製雨水管が、ちょうど満流で（圧力管ではなく開水路として）流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.002 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
D = 1200 mmn = 0.013S = 0.002
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
幅 5 m の長方形の仕上げのないコンクリートの水路は、 水深 2.2 m の等流で 28 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.014。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。
Q = 28 m³/sb = 5 my = 2.2 mn = 0.014
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 101.2 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.75·3.75 = 101.2 kN
答え
F = 101.2 kN
2.静水圧
答え: ycp = 1.857 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·1.75·4.5 = 79.19 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 3·1.5³/12 = 0.8438 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.75 + 0.8438/(1.75·4.5) = 1.857 m
答え
ycp = 1.857 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: v = 8.485 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
よどみ点へのベルヌーイの式
流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·36000/1000) = 8.485 m/s
答え
v = 8.485 m/s
4.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 13.75 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ホース内の流速
水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。
v = √(2g·2.5) = √(2·9.81·2.5) = 7.004 m/s
流量
Q = A·v = 0.001963·7.004 = 0.01375 m³/s = 13.75 L/s
答え
Q = 13.75 L/s
5.管摩擦と損失水頭
答え: Δp = 121.5 kPa
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失水頭
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(150/0.05)·1.8²/(2·9.81) = 12.39 m
圧力損失
管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·12.39 = 121500 Pa = 121.5 kPa
答え
Δp = 121.5 kPa
6.管摩擦と損失水頭
答え: Q = 178.4 L/s
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失係数
f·L/D = 0.015·100/0.25 = 6
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4
エネルギー式
どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。
7 = (6 + 4.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·7/10.4) = 3.634 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 3.634·0.04909 = 0.1784 m³/s = 178.4 L/s
答え
Q = 178.4 L/s
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pel = 19.14 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·70 = 13.73 kW
軸動力
Pshaft = 13.73/0.78 = 17.61 kW
電力
Pel = 17.61/0.92 = 19.14 kW
答え
Pel = 19.14 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 11.35 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37.5 + 8)·0.1859 = 8.459 m
ポンプ揚程
H = Δz + hL = 6 + 8.459 = 14.46 m
軸動力
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.06·14.46/0.75 = 11.35 kW
答え
Pshaft = 11.35 kW
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 1.744 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = 1.131 m², R = D/4 = 0.3 m
速度
V = (1/0.013)·0.32/3·0.0021/2 = 1.542 m/s
流量
Q = A·V = 1.131·1.542 = 1.744 m³/s
答え
Q = 1.744 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.00103 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = b·y = 5·2.2 = 11 m²
P = b + 2y = 5 + 2·2.2 = 9.4 m
R = A/P = 1.17 m
マニングの式を S について解く
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.014·28/(11·1.11) = 0.03209
S = 0.03209² = 0.00103
答え
S = 0.00103
これは 1 km あたり 1.03 m の落差です。
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