静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 3 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
大きな開放水槽から、直径 50 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 3.5 m 上に保たれ、流量係数は 0.64 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。
d = 50 mmh = 3.5 mCd = 0.64g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
内径 25 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 3 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 2.5 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 点 C での絶対圧力 pC を求めよ。大気圧は 101.3 kPa である。
d = 25 mmzC = +3 mz2 = −2.5 mg = 9.81 m/s²patm = 101.3 kPa
pC = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 1000 m、内径 75 mm の水平管内を 2.9 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。
V = 2.9 m/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 150 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。
Q = 150 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
試験で、ポンプが揚程 16 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 20 L/s 送り、そのとき軸動力は 3.7 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。
Q = 20 L/sH = 16 mPshaft = 3.7 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 100 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 28 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 85% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 100 L/sΔz = 28 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.025ΣK = 8η = 85%
Pshaft = kW
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
長方形の芝で覆われた土の水路の幅は 4 m である。水は水深 2.5 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.03、水路床勾配は S = 0.002 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
b = 4 my = 2.5 mn = 0.03S = 0.002
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
内径 375 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 0.6 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。
D = 375 mmn = 0.013V = 0.6 m/s
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 78.48 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·4 = 78.48 kN
答え
F = 78.48 kN
2.静水圧
答え: ycp = 4.373 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.25·7.5 = 312.7 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 3·2.5³/12 = 3.906 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4.25 + 3.906/(4.25·7.5) = 4.373 m
答え
ycp = 4.373 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 10.41 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
理想的な噴流速度
√(2gh) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s
実際の流量
流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。
Q = Cd·A·√(2gh) = 0.64·0.001963·8.287 = 0.01041 m³/s = 10.41 L/s
答え
Q = 10.41 L/s
4.連続の式とベルヌーイ
答え: pC = 47.34 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ホース内の流速
水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。
v = √(2g·2.5) = √(2·9.81·2.5) = 7.004 m/s
水面から C へのベルヌーイの式
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101.3 − 1000·(7.004²/2 + 9.81·3)/1000 = 101.3 − 53.96 = 47.34 kPa
答え
pC = 47.34 kPa
この圧力が水の蒸気圧まで下がると、サイホンは働かなくなります。
5.管摩擦と損失水頭
答え: Δp = 841 kPa
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失水頭
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(1000/0.075)·2.9²/(2·9.81) = 85.73 m
圧力損失
管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·85.73 = 841000 Pa = 841 kPa
答え
Δp = 841 kPa
6.管摩擦と損失水頭
答え: Δz = 2.854 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.15/0.07069 = 2.122 m/s
V²/(2g) = 0.2295 m
損失係数
f·L/D = 0.025·100/0.3 = 8.333
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1
全損失水頭
hf = 8.333·0.2295 = 1.913 m
hm = 4.1·0.2295 = 0.941 m
Δz = hf + hm = 2.854 m
答え
Δz = 2.854 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: η = 84.84 %
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·16 = 3.139 kW
効率
η = Ph/Pshaft = 3.139/3.7 = 84.84%
答え
η = 84.84%
8.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 37.93 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0.2115 = 4.865 m
ポンプ揚程
H = Δz + hL = 28 + 4.865 = 32.87 m
軸動力
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.1·32.87/0.85 = 37.93 kW
答え
Pshaft = 37.93 kW
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 15.99 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = b·y = 4·2.5 = 10 m²
P = b + 2y = 4 + 2·2.5 = 9 m
R = A/P = 1.111 m
速度
V = (1/0.03)·1.1112/3·0.0021/2 = 1.599 m/s
流量
Q = A·V = 10·1.599 = 15.99 m³/s
答え
Q = 15.99 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.001429 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
径深
R = D/4 = 0.375/4 = 0.09375 m
マニングの式を S について解く
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.6/0.2064)² = 0.001429
答え
S = 0.001429
これは 1 km あたり 1.429 m の落差です。
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