水理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
径深
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形
A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）
R = D/4
必要な水路勾配
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 0.5 mH = 2 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 1 mH = 1 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 75 mm, p1​ = 340 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

水が、75 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 340 kPa、流速は 3 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 340 kPav1 = 3 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
H = ?d1​ = 75 mmp1​ = 20 kPad2​ = 30 mm

噴水のノズルが真上を向いている。ノズルのすぐ下で、供給管の直径は 75 mm、ゲージ圧は 20 kPa である。ノズル出口の直径は 30 mm で、ノズル前後の高さの差は無視できる。損失と空気抵抗を無視して、噴流がノズルより上に達する高さ H を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d1 = 75 mmp1 = 20 kPa (ゲージ圧)d2 = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 2.8 m/sD = 50 mmL = 100 mf = 0.018

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 100 m、内径 50 mm の水平管内を 2.8 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 2.8 m/sL = 100 mD = 50 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 0.2自由放出口H = ?L = 100 m, D = 150 mm, f = 0.023× 曲がり (K = 0.3)

長さ 100 m、内径 150 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 0.2） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 20 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 20 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 0.2
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 60 L/sH = 10 m

ポンプが揚程 10 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 60 L/s 送っている。ポンプ効率は 70%、これを駆動する電動機の効率は 95% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。

Q = 60 L/sH = 10 mηpump = 70%ηmotor = 95%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
250 kPa (ゲージ圧)PQ = 40 L/sΔz = 21 mL = 100 m, D = 150 mm, f = 0.02, ΣK = 6

ポンプが 40 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 21 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 250 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 40 L/sΔz = 21 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 6ptank = 250 kPa
H = m
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
D = 600 mmn = 0.013, S = 0.0008

内径 600 mm のコンクリート製雨水管が、ちょうど満流で（圧力管ではなく開水路として）流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.0008 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

D = 600 mmn = 0.013S = 0.0008
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
b = 3.5 my = 0.7 mn = 0.015, Q = 5.6 m³/s

幅 3.5 m の長方形のれんが積みの水路は、 水深 0.7 m の等流で 5.6 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.015。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 5.6 m³/sb = 3.5 my = 0.7 mn = 0.015
S = m/m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 88.29 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
ゲートd = 0.5 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.5·6 = 88.29 kN

答え

F = 88.29 kN
2.静水圧

答え: F = 22.62 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
ゲートd = 1 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·1.5·1.5 = 22.62 kN

答え

F = 22.62 kN
3.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 321.7 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(75/50)² = 6.75 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 6.75²)/1000 = −18.28 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 340 + (−18.28) = 321.7 kPa

答え

p2 = 321.7 kPa
4.連続の式とベルヌーイ

答え: H = 2.092 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

出口流速

β = 30/75 = 0.4
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·20000/(1000·0.9744)) = 6.407 m/s

噴流の高さ

噴流に沿ったベルヌーイの式：最高点では流速は 0 で、圧力は再び大気圧です。

H = v2²/(2g) = 6.407²/(2·9.81) = 2.092 m

答え

H = 2.092 m
5.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 141.1 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(100/0.05)·2.8²/(2·9.81) = 14.39 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·14.39 = 141120 Pa = 141.1 kPa

答え

Δp = 141.1 kPa
6.管摩擦と損失水頭

答え: H = 1.04 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.02/0.01767 = 1.132 m/s
V²/(2g) = 0.06529 m

損失係数

f·L/D = 0.02·100/0.15 = 13.33
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 0.2 = 1.6

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 13.33 + 1.6)·0.06529 = 1.04 m

答え

H = 1.04 m
7.ポンプとポンプ動力

答え: Pel = 8.851 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·10 = 5.886 kW

軸動力

Pshaft = 5.886/0.7 = 8.409 kW

電力

Pel = 8.409/0.95 = 8.851 kW

答え

Pel = 8.851 kW
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 51.53 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13.33 + 6)·0.2611 = 5.049 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9.81) = 25.48 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 21 + 25.48 + 5.049 = 51.53 m

答え

H = 51.53 m
9.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 0.1737 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = 0.2827 m², R = D/4 = 0.15 m

速度

V = (1/0.013)·0.152/3·0.00081/2 = 0.6142 m/s

流量

Q = A·V = 0.2827·0.6142 = 0.1737 m³/s

答え

Q = 0.1737 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.002962 m/m

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 3.5·0.7 = 2.45 m²
P = b + 2y = 3.5 + 2·0.7 = 4.9 m
R = A/P = 0.5 m

マニングの式を S について解く

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.015·5.6/(2.45·0.63) = 0.05443
S = 0.05443² = 0.002962

答え

S = 0.002962

これは 1 km あたり 2.962 m の落差です。

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