静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 3 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 2.5 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
水が、150 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 270 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。
d1 = 150 mmd2 = 50 mmp1 = 270 kPav1 = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
水が、100 mm から 75 mm に細くなりながら 1 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 240 kPa、流速は 2.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 240 kPav1 = 2.75 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 1000 m、内径 300 mm の水平管内を 2 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.028、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。
V = 2 m/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0.028ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 25 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。
Q = 25 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
ポンプが揚程 72 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 150 L/s 送っている。ポンプ効率は 82%、これを駆動する電動機の効率は 95% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。
Q = 150 L/sH = 72 mηpump = 82%ηmotor = 95%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 5 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 300 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 5（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 250 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 80 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 250 mmf = 0.018ΣK = 5ptank = 250 kPa
H = m
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
台形の砂利の水路の底幅は 3 m、側面勾配は 1.5:1（水平:鉛直）である。水は水深 0.6 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.025、水路床勾配は S = 0.0008 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
b = 3 my = 0.6 mz = 1.5n = 0.025S = 0.0008
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
底幅 3.5 m、側面勾配 1.5:1（水平:鉛直）の台形のれんが積みの水路は、 水深 0.6 m の等流で 4.7 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.015。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。
Q = 4.7 m³/sb = 3.5 my = 0.6 mz = 1.5n = 0.015
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 82.77 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.75·2.25 = 82.77 kN
答え
F = 82.77 kN
2.静水圧
答え: ycp = 3.595 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m
A = H·b = 2·1.5 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 1.5·2³/12 = 1 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.5 + 1/(3.5·3) = 3.595 m
答え
ycp = 3.595 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 247.5 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 0.75·(150/50)² = 6.75 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.75² − 6.75²)/1000 = −22.5 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 270 + (−22.5) = 247.5 kPa
答え
p2 = 247.5 kPa
4.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 222 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 2.75·(100/75)² = 4.889 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.75² − 4.889²)/1000 = −8.169 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 240 + (−8.169) − 9.81 = 222 kPa
答え
p2 = 222 kPa
5.管摩擦と損失水頭
答え: Δp = 186.7 kPa
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失水頭
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(1000/0.3)·2²/(2·9.81) = 19.03 m
圧力損失
管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·19.03 = 186667 Pa = 186.7 kPa
答え
Δp = 186.7 kPa
6.管摩擦と損失水頭
答え: Δz = 2.118 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.025/0.01767 = 1.415 m/s
V²/(2g) = 0.102 m
損失係数
f·L/D = 0.025·100/0.15 = 16.67
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1
全損失水頭
hf = 16.67·0.102 = 1.7 m
hm = 4.1·0.102 = 0.4182 m
Δz = hf + hm = 2.118 m
答え
Δz = 2.118 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pel = 136 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·72 = 105.9 kW
軸動力
Pshaft = 105.9/0.82 = 129.2 kW
電力
Pel = 129.2/0.95 = 136 kW
答え
Pel = 136 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: H = 34.09 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s
V²/(2g) = 0.1354 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (21.6 + 5)·0.1354 = 3.601 m
圧力水頭
p/(ρ·g) = 250000/(1000·9.81) = 25.48 m
ポンプ揚程
どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 25.48 + 3.601 = 34.09 m
答え
H = 34.09 m
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 1.562 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (3 + 1.5·0.6)·0.6 = 2.34 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·0.6·√(1 + 1.5²) = 5.163 m
R = A/P = 0.4532 m
速度
V = (1/0.025)·0.45322/3·0.00081/2 = 0.6675 m/s
流量
Q = A·V = 2.34·0.6675 = 1.562 m³/s
答え
Q = 1.562 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.001973 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1.5·0.6)·0.6 = 2.64 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·0.6·√(1 + 1.5²) = 5.663 m
R = A/P = 0.4662 m
マニングの式を S について解く
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.015·4.7/(2.64·0.6012) = 0.04442
S = 0.04442² = 0.001973
答え
S = 0.001973
これは 1 km あたり 1.973 m の落差です。
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