静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 1 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 4 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
水が、75 mm から 25 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 360 kPa、流速は 1.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。
d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 360 kPav1 = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
水が、150 mm から 75 mm に細くなりながら 1 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 130 kPa、流速は 3 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 130 kPav1 = 3 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 150 m、内径 300 mm の管内を 60 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
Q = 60 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 5 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。
Δz = 5 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ポンプとポンプ動力ふつう
ポンプが揚程 78 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 10 L/s 送っている。ポンプ効率は 82%、これを駆動する電動機の効率は 88% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。
Q = 10 L/sH = 78 mηpump = 82%ηmotor = 88%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 50 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 5 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 300 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 250 mmf = 0.02ΣK = 8
H = m
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
長方形のきれいな土の水路の幅は 3.5 m である。水は水深 1.9 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.022、水路床勾配は S = 0.0008 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
b = 3.5 my = 1.9 mn = 0.022S = 0.0008
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
内径 200 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 0.6 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。
D = 200 mmn = 0.013V = 0.6 m/s
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 29.43 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.5·2 = 29.43 kN
答え
F = 29.43 kN
2.静水圧
答え: ycp = 4.789 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·4.75·3 = 143.3 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4.75 + 0.5625/(4.75·3) = 4.789 m
答え
ycp = 4.789 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 270 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 1.5·(75/25)² = 13.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.5² − 13.5²)/1000 = −90 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 360 + (−90) = 270 kPa
答え
p2 = 270 kPa
4.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 52.69 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(150/75)² = 12 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67.5 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 130 + (−67.5) − 9.81 = 52.69 kPa
答え
p2 = 52.69 kPa
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 0.3305 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
平均流速
A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²
V = Q/A = 0.06/0.07069 = 0.8488 m/s
速度水頭
V²/(2g) = 0.8488²/(2·9.81) = 0.03672 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(150/0.3)·0.8488²/(2·9.81) = 0.3305 m
答え
hf = 0.3305 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: Q = 150.8 L/s
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失係数
f·L/D = 0.015·100/0.25 = 6
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4
エネルギー式
どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。
5 = (6 + 4.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·5/10.4) = 3.071 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 3.071·0.04909 = 0.1508 m³/s = 150.8 L/s
答え
Q = 150.8 L/s
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pel = 10.6 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·78 = 7.652 kW
軸動力
Pshaft = 7.652/0.82 = 9.331 kW
電力
Pel = 9.331/0.88 = 10.6 kW
答え
Pel = 10.6 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: H = 6.692 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.05/0.04909 = 1.019 m/s
V²/(2g) = 0.05288 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 8)·0.05288 = 1.692 m
ポンプ揚程
どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。
H = Δz + hL = 5 + 1.692 = 6.692 m
答え
H = 6.692 m
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 8.034 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = b·y = 3.5·1.9 = 6.65 m²
P = b + 2y = 3.5 + 2·1.9 = 7.3 m
R = A/P = 0.911 m
速度
V = (1/0.022)·0.9112/3·0.00081/2 = 1.208 m/s
流量
Q = A·V = 6.65·1.208 = 8.034 m³/s
答え
Q = 8.034 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.003303 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
径深
R = D/4 = 0.2/4 = 0.05 m
マニングの式を S について解く
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.6/0.1357)² = 0.003303
答え
S = 0.003303
これは 1 km あたり 3.303 m の落差です。
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