静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
水が、75 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 330 kPa、流速は 1 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 330 kPav1 = 1 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
水が、75 mm から 50 mm に細くなりながら 6 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 270 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 270 kPav1 = 0.5 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 1000 m、内径 50 mm の水平管内を 0.8 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。
V = 0.8 m/sL = 1000 mD = 50 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
長さ 300 m、内径 200 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 50 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。
Q = 50 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 5
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
ポンプが揚程 64 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 20 L/s 送っている。ポンプ効率は 75%、これを駆動する電動機の効率は 95% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。
Q = 20 L/sH = 64 mηpump = 75%ηmotor = 95%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 75 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 5 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 2.5（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 75 L/sΔz = 5 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 2.5
H = m
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
長方形の仕上げのないコンクリートの水路の幅は 4 m である。水は水深 1 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.014、水路床勾配は S = 0.001 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
b = 4 my = 1 mn = 0.014S = 0.001
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
底幅 5 m、側面勾配 2:1（水平:鉛直）の台形の芝で覆われた土の水路は、 水深 2 m の等流で 39 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.03。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。
Q = 39 m³/sb = 5 my = 2 mz = 2n = 0.03
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 176.6 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·6 = 176.6 kN
答え
F = 176.6 kN
2.静水圧
答え: ycp = 3.308 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·3.25·2.25 = 73.53 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.25 + 0.4219/(3.25·2.25) = 3.308 m
答え
ycp = 3.308 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 328 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(75/50)² = 2.25 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 2.25²)/1000 = −2.031 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 330 + (−2.031) = 328 kPa
答え
p2 = 328 kPa
4.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 210.6 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(75/50)² = 1.125 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 1.125²)/1000 = −0.5078 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 270 + (−0.5078) − 58.86 = 210.6 kPa
答え
p2 = 210.6 kPa
5.管摩擦と損失水頭
答え: Δp = 96 kPa
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失水頭
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(1000/0.05)·0.8²/(2·9.81) = 9.786 m
圧力損失
管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·9.786 = 96000 Pa = 96 kPa
答え
Δp = 96 kPa
6.管摩擦と損失水頭
答え: H = 4.402 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s
V²/(2g) = 0.1291 m
損失係数
f·L/D = 0.018·300/0.2 = 27
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 = 6.1
エネルギー式
出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。
H = (1 + 27 + 6.1)·0.1291 = 4.402 m
答え
H = 4.402 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pel = 17.62 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·64 = 12.56 kW
軸動力
Pshaft = 12.56/0.75 = 16.74 kW
電力
Pel = 16.74/0.95 = 17.62 kW
答え
Pel = 17.62 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: H = 10.08 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 2.5)·0.2905 = 5.083 m
ポンプ揚程
どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。
H = Δz + hL = 5 + 5.083 = 10.08 m
答え
H = 10.08 m
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 6.895 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = b·y = 4·1 = 4 m²
P = b + 2y = 4 + 2·1 = 6 m
R = A/P = 0.6667 m
速度
V = (1/0.014)·0.66672/3·0.0011/2 = 1.724 m/s
流量
Q = A·V = 4·1.724 = 6.895 m³/s
答え
Q = 6.895 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.003006 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (5 + 2·2)·2 = 18 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·2·√(1 + 2²) = 13.94 m
R = A/P = 1.291 m
マニングの式を S について解く
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.03·39/(18·1.186) = 0.05483
S = 0.05483² = 0.003006
答え
S = 0.003006
これは 1 km あたり 3.006 m の落差です。
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