水理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2演習問題

1.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.連続の式とベルヌーイふつう

入口径 200 mm、のど部径 100 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 15 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ − p₂ = 15 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.連続の式とベルヌーイむずかしい

内径 25 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 1 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 3 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。点 C での絶対圧力 p_C を求めよ。大気圧は 101.3 kPa である。

d = 25 mmz_C = +1 mz₂ = −3 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

5.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 100 m、内径 100 mm の管内を 6 L/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

Q = 6 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管摩擦と損失水頭むずかしい

長さ 200 m、内径 300 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 80 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 80 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 10

H = m

7.ポンプとポンプ動力ふつう

ポンプが揚程 40 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 20 L/s 送っている。ポンプ効率は 82%、これを駆動する電動機の効率は 95% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 P_el を kW で求めよ。

Q = 20 L/sH = 40 mη_pump = 82%η_motor = 95%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 11 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 3（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 300 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 80 L/sΔz = 11 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 3p_tank = 300 kPa

H = m

9.開水路の流れ（マニング）ふつう

内径 1200 mm のコンクリート製雨水管が、ちょうど満流で（圧力管ではなく開水路として）流れている。マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.0015 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

D = 1200 mmn = 0.013S = 0.0015

Q = m³/s

10.開水路の流れ（マニング）むずかしい

内径 250 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 0.9 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。

D = 250 mmn = 0.013V = 0.9 m/s

S = m/m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 58.86 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·2 = 58.86 kN

答え

F = 58.86 kN

2.静水圧

答え: F = 64.89 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1.75·3 = 64.89 kN

答え

F = 64.89 kN

3.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 44.43 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

連続の式

v₁ = v₂·(100/200)² = 0.25·v₂

入口とのど部の間のベルヌーイの式

管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·15000/(1000·(1 − 0.0625))) = 5.657 m/s

v₁ = 1.414 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.007854·5.657 = 0.04443 m³/s = 44.43 L/s

答え

Q = 44.43 L/s

4.連続の式とベルヌーイ

答え: p_C = 62.06 kPa

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·3) = √(2·9.81·3) = 7.672 m/s

水面から C へのベルヌーイの式

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(7.672²/2 + 9.81·1)/1000 = 101.3 − 39.24 = 62.06 kPa

答え

p_C = 62.06 kPa

この圧力が水の蒸気圧まで下がると、サイホンは働かなくなります。

5.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 0.6544 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²

V = Q/A = 0.006/0.007854 = 0.7639 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 0.7639²/(2·9.81) = 0.02975 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(100/0.1)·0.7639²/(2·9.81) = 0.6544 m

答え

h_f = 0.6544 m

6.管摩擦と損失水頭

答え: H = 1.747 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.07069 = 1.132 m/s

V²/(2g) = 0.06529 m

損失係数

f·L/D = 0.022·200/0.3 = 14.67

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 = 11.1

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 14.67 + 11.1)·0.06529 = 1.747 m

答え

H = 1.747 m

7.ポンプとポンプ動力

答え: P_el = 10.07 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·40 = 7.848 kW

軸動力

P_shaft = 7.848/0.82 = 9.571 kW

電力

P_el = 9.571/0.95 = 10.07 kW

答え

P_el = 10.07 kW

8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 46.29 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11.25 + 3)·0.3305 = 4.71 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9.81) = 30.58 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 11 + 30.58 + 4.71 = 46.29 m

答え

H = 46.29 m

9.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 1.51 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = 1.131 m², R = D/4 = 0.3 m

速度

V = (1/0.013)·0.3^2/3·0.0015^1/2 = 1.335 m/s

流量

Q = A·V = 1.131·1.335 = 1.51 m³/s

答え

Q = 1.51 m³/s

10.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.005519 m/m

径深

R = D/4 = 0.25/4 = 0.0625 m

マニングの式を S について解く

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.9/0.1575)² = 0.005519

答え

S = 0.005519

これは 1 km あたり 5.519 m の落差です。

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