計測と計装：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

分圧器の電圧
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
排泄量
Vab = Va − Vb
出納
R1/R2 = R3/R4
スライドワイヤブリッジ
R/Rx = l/(100 − l)
テブナン抵抗
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
ゲージ率
ΔR/R = GF·ε
ブリッジの出力
1/4 ブリッジ Vs·GF·ε/4、1/2 ブリッジ Vs·GF·ε/2、フルブリッジ Vs·GF·ε
微小変化、1 辺のみ
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
応力
σ = E·ε

解き方

  1. ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
  2. 平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
  3. 不平衡ブリッジでは、分圧器から Va と Vb を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
  4. ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて Vs·GF·ε/4、/2、×1 を使います。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件
fs > 2·fmax, fN = fs/2
エイリアス周波数
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
ステップ幅
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）
±½ LSB
切り捨て ADC のコード
D = ⌊Vin/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート
チャネル数 × fs × N bit/s
マルチプレクス ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比
baud = fclk/(16·D)

解き方

  1. まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
  2. サンプリングの問題では、各周波数を fs/2 と比べます。それより高い周波数は、fs の最も近い整数倍を使って fa = |f − k·fs| の位置に現れます。
  3. 分解能の問題では、1 LSB = VFSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能 を満たす最小の N を求めます。
  4. データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

オペアンプ回路

反転増幅器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
非反転増幅器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加算増幅器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想オペアンプ
V+ = V−, Iin = 0

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

テブナン・ノートン

テブナン電圧
Vth = Vopen circuit
テブナン抵抗
Rth：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流
IN = Vth/Rth
負荷電流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大電力伝送
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

解き方

  1. 負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
  2. a と b の間の開放電圧を求めます：これが Vth です。
  3. 独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが Rth です。
  4. 負荷を等価回路に戻します：Vth と Rth の直列です。
  5. ノートン等価回路には変換します：IN = Vth/Rth、RN = Rth を並列に接続します。

2演習問題

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう
+−2 V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−56.6 mV

4 つの辺がすべて 120 Ω のブリッジに 2 V を供給します。センサ R₂ が変化すると、出力は Vab = 56.6 mV を示します。R₂ の厳密な変化量 ΔR を求めなさい。

Vs = 2 VR = 120 ΩVab = 56.6 mV
ΔR = Ω
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい
+−5 V120 Ω − ΔR120 Ω + ΔR120 Ω + ΔR120 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

ロードセル（ひずみゲージのフルブリッジ）の定格出力は、定格荷重 100 kg で 3 mV/V です。励起電圧は 5 V です。荷重 25 kg のときの出力 Vo を求めなさい。

3 mV/VFrated = 100 kgVs = 5 VF = 25 kg
Vo = mV
3.データ収録とサンプリングふつう
Vin​N = ?400 °C2ᴺ − 10≤ 0.5 °C

センサが 温度 を 400 °C の範囲で測定し、その出力が ADC の入力範囲全体を満たします。読み取りは 0.5 °C を分解できなければなりません。ADC に必要な最小のビット数 N を求めなさい。

範囲 = 400 °C分解能 = 0.5 °C
N =
4.データ収録とサンプリングむずかしい
T5 mV/°C×2.5∿01N = 12, 2.5 V? °C/LSB

温度センサが 5 mV/°C（0 °C で 0 V）を出力します。その信号を 2.5 倍に増幅し、入力範囲 0〜2.5 V の 12 ビット ADC に入力します（1 LSB = VFSR/2ᴺ）。1 LSB に対応する温度変化 ΔTLSB を求めなさい。

S = 5 mV/°CG = 2.5N = 12VFSR = 2.5 V
ΔTLSB = °C
5.オペアンプ回路ふつう
−+Vout​R2​ = 22 kΩV1​ = 1.8 VR1​ = 4.7 kΩV2​ = 2.6 VR3​ = 4.7 kΩR4​ = 22 kΩ

差動増幅器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使い、R3 = R1、R4 = R2 である。 出力電圧 Vout を求めよ。

V1 = 1.8 VV2 = 2.6 VR1 = R3 = 4.7 kΩR2 = R4 = 22 kΩ
Vout = V
6.オペアンプ回路むずかしい
−+Vout​R2​ = 10 kΩV1​ = −1.2 VR1​ = 100 kΩV2​ = 1.6 VR3​ = 10 kΩR4​ = 4.7 kΩ

オペアンプは理想的で、±15 V 電源で動作する。 抵抗の比はそろっていない。出力電圧 Vout を求めよ。

V1 = −1.2 VV2 = 1.6 VR1 = 100 kΩR2 = 10 kΩR3 = 10 kΩR4 = 4.7 kΩ
Vout = V
7.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAR4​15 ΩB

電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。

V1 = 6 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 ΩR4 = 15 Ω
IR1 = A
8.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 30 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​5 VR2​5 ΩIR2​AR4​25 ΩBR6​4 Ω

R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。

V1 = 5 VR1 = 30 ΩR2 = 5 ΩR3 = 25 ΩR4 = 25 ΩR5 = 2 ΩR6 = 4 Ω
IR2 = A
9.テブナン・ノートンふつう
R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAab

端子 a–b から見たテブナン抵抗 Rth を求めよ。

V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 Ω
Rth = Ω
10.テブナン・ノートンむずかしい
R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​30 ΩAIs​6 ABab

ノートン電流 IN を求めよ：端子を短絡したとき a から b へ流れる電流。

V1 = 6 VIs = 6 AR1 = 15 ΩR2 = 30 ΩR3 = 12 Ω
IN = A

3溶液

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: ΔR = 14.4 Ω

ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 Vs を共有します。左の分圧器 R1–R2 は Va = Vs·R2/(R1 + R2) を、右の分圧器 R3–R4 は Vb = Vs·R4/(R3 + R4) を与え、出力は Vab = Va − Vb です。R1/R2 = R3/R4、すなわち R1·R4 = R2·R3 のとき、ブリッジは平衡しています（Vab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは Rth = R1∥R2 + R3∥R4 のテブナン電源です。

節点電圧

Va = 1 + 0.0566 = 1.057 V

分圧器を解く

R₂ = 120·1.057/(2 − 1.057) = 134.4 Ω
ΔR = 134.4 − 120 = 14.4 Ω

答え

ΔR = 14.4 Ω
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: Vo = 3.75 mV

ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき Vo ≈ Vs·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では Vs·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では Vs·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。

フルスケール出力

3·5 = 15 mV

この荷重での出力

Vo = 15·25/100 = 3.75 mV

答え

Vo = 3.75 mV
3.データ収録とサンプリング

答え: N = 10

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

必要なステップ数

400/0.5 = 800

ビット数

log₂(800) = 9.644
29 = 512 < 800 ≤ 210 = 1024
N = 10

答え

N = 10
4.データ収録とサンプリング

答え: ΔTLSB = 0.04883 °C

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

ステップ幅

1 LSB = 2500/4096 = 0.6104 mV

ADC での感度

5·2.5 = 12.5 mV/°C

温度分解能

ΔTLSB = 0.6104/12.5 = 0.04883 °C

答え

ΔTLSB = 0.04883 °C

ADC は 200 °C でフルスケールに達します。

5.オペアンプ回路

答え: Vout = 3.745 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

入力の電圧

R₃ と R₄ には同じ電流が流れるので分圧回路をつくり、帰還により V₋ = V₊ となります。

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 2.6·22/(4.7 + 22) = 2.142 V
V₋ = V₊

反転入力での KCL

(1.8 − 2.142)/4.7 = (2.142 − Vout)/22
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (22/4.7)·(2.6 − 1.8) = 3.745 V

答え

Vout = 3.745 V
6.オペアンプ回路

答え: Vout = 0.6827 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

+ 入力の電圧

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1.6·4.7/(10 + 4.7) = 0.5116 V

2 つの入力を重ね合わせる

V₂ = 0 のとき、V₁ から見ると反転増幅器です。V₁ = 0 のとき、V₊ は非反転利得 1 + R₂/R₁ で増幅されます。

Vout = −(10/100)·(−1.2) + (1 + 10/100)·0.5116 = 0.12 + 0.5627 = 0.6827 V

答え

Vout = 0.6827 V
7.抵抗の直列・並列

答え: IR1 = 0.2265 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAR4​15 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 12 + 15 = 27 Ω
R2 ∥ 27 = 20·27/(20+27) = 11.49 Ω
Req = R1 + 11.49 = 15 + 11.49 = 26.49 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 6/26.49 = 0.2265 A

答え

IR1 = 0.2265 A
8.抵抗の直列・並列

答え: IR2 = 0.1249 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 30 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​5 VR2​5 ΩAR4​25 ΩBR6​4 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 2 + 4 = 6 Ω
R4 ∥ 6 = 4.839 Ω
R3 + 4.839 = 29.84 Ω
R2 ∥ 29.84 = 4.282 Ω
Req = R1 + 4.282 = 30 + 4.282 = 34.28 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 5/34.28 = 0.1458 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0.1458·30 = 0.6246 V
IR2 = VA/R2 = 0.6246/5 = 0.1249 A

答え

IR2 = 0.1249 A
9.テブナン・ノートン

答え: Rth = 13.76 Ω

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω短絡R2​2 ΩAabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 15·2/(15+2) = 1.765 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.765 + 12 = 13.76 Ω
10.テブナン・ノートン

答え: IN = −5.818 A

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω短絡R2​30 ΩA開放BabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 15·30/(15+30) = 10 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 10 + 12 = 22 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​30 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

開放電圧 Vth を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4 + (−6)·10 = −56 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −56 + (−6)·12 = −128 V
IN​5.818 ARth​22 Ωab

ノートン等価回路

ノートン電源は、同じ回路を R_th と並列な電流源として見たものです。その電流は a–b の短絡電流です。

IN = Vth/Rth = −128/22 = −5.818 A

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