計測と計装：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

分圧器の電圧
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
排泄量
Vab = Va − Vb
出納
R1/R2 = R3/R4
スライドワイヤブリッジ
R/Rx = l/(100 − l)
テブナン抵抗
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
ゲージ率
ΔR/R = GF·ε
ブリッジの出力
1/4 ブリッジ Vs·GF·ε/4、1/2 ブリッジ Vs·GF·ε/2、フルブリッジ Vs·GF·ε
微小変化、1 辺のみ
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
応力
σ = E·ε

解き方

  1. ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
  2. 平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
  3. 不平衡ブリッジでは、分圧器から Va と Vb を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
  4. ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて Vs·GF·ε/4、/2、×1 を使います。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件
fs > 2·fmax, fN = fs/2
エイリアス周波数
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
ステップ幅
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）
±½ LSB
切り捨て ADC のコード
D = ⌊Vin/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート
チャネル数 × fs × N bit/s
マルチプレクス ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比
baud = fclk/(16·D)

解き方

  1. まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
  2. サンプリングの問題では、各周波数を fs/2 と比べます。それより高い周波数は、fs の最も近い整数倍を使って fa = |f − k·fs| の位置に現れます。
  3. 分解能の問題では、1 LSB = VFSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能 を満たす最小の N を求めます。
  4. データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

オペアンプ回路

反転増幅器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
非反転増幅器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加算増幅器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想オペアンプ
V+ = V−, Iin = 0

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

テブナン・ノートン

テブナン電圧
Vth = Vopen circuit
テブナン抵抗
Rth：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流
IN = Vth/Rth
負荷電流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大電力伝送
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

解き方

  1. 負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
  2. a と b の間の開放電圧を求めます：これが Vth です。
  3. 独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが Rth です。
  4. 負荷を等価回路に戻します：Vth と Rth の直列です。
  5. ノートン等価回路には変換します：IN = Vth/Rth、RN = Rth を並列に接続します。

2演習問題

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう
+−9 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−173.1 mV

4 つの辺がすべて 1000 Ω のブリッジに 9 V を供給します。センサ R₂ が変化すると、出力は Vab = 173.1 mV を示します。R₂ の厳密な変化量 ΔR を求めなさい。

Vs = 9 VR = 1000 ΩVab = 173.1 mV
ΔR = Ω
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい
+−5 V1000 Ω − ΔR1000 Ω + ΔR1000 Ω + ΔR1000 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

1000 Ω の辺をもつブリッジに 5 V を加え、アクティブゲージ 4 枚、2 枚が引張、2 枚が圧縮（フルブリッジ） とします。ゲージ率は 2.12、ひずみは 1500 µε です。ブリッジの出力 Vo を mV で求めなさい。

Vs = 5 VGF = 2.12ε = 1500 µε
Vo = mV
3.データ収録とサンプリングふつう
Vin​N = ?1 V2ᴺ − 10≤ 0.1 mV

入力範囲が 0〜1 V の ADC が、0.1 mV 以下のステップを分解しなければなりません。最小のビット数 N を求めなさい。

VFSR = 1 V分解能 = 0.1 mV
N =
4.データ収録とサンプリングむずかしい
Vin​N = ?VFSR​2ᴺ − 101 LSB

オーディオの測定で、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比が少なくとも 55 dB 必要です。ADC の最小ビット数 N を求めなさい。

SQNR ≥ 55 dB
N =
5.オペアンプ回路ふつう
−+Vout​Rf​ = 2 kΩVin​R1​ = 1 kΩ

オペアンプは理想的で、±15 V 電源で動作する。出力は ±12 V で飽和する。 反転増幅器を正弦波で駆動する。出力がクリップしない最大の入力振幅 Vin,max（最大値）を求めよ。

R1 = 1 kΩRf = 2 kΩVsat = ±12 V
Vin,max = V
6.オペアンプ回路むずかしい
−+Vout​Rf​ = 1 kΩV1​ = −0.2 VR1​ = 10 kΩV2​ = 2 VR2​ = 4.7 kΩ

加算増幅器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使う。 出力電圧 Vout を求めよ。

V1 = −0.2 VV2 = 2 VR1 = 10 kΩR2 = 4.7 kΩRf = 1 kΩ
Vout = V
7.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 3 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAR4​12 ΩB

電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。

V1 = 6 VR1 = 3 ΩR2 = 4 ΩR3 = 4 ΩR4 = 12 Ω
Req = Ω
8.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 25 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩIR2​AR4​6 ΩBR6​12 Ω

R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。

V1 = 6 VR1 = 25 ΩR2 = 5 ΩR3 = 30 ΩR4 = 6 ΩR5 = 3 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
9.テブナン・ノートンふつう
R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩARL​3 ΩIL​B

a–b 間に負荷 RL = 3 Ω を接続する。回路の残りをテブナン等価回路に置き換え、負荷電流 IL を求めよ。

V1 = 24 VR1 = 12 ΩR2 = 15 ΩR3 = 20 ΩRL = 3 Ω
IL = A
10.テブナン・ノートンむずかしい
R1​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAIs​5 ABab

端子 a–b から見たテブナン電圧 Vth を求めよ。

V1 = 30 VIs = 5 AR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V

3溶液

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: ΔR = 80 Ω

ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 Vs を共有します。左の分圧器 R1–R2 は Va = Vs·R2/(R1 + R2) を、右の分圧器 R3–R4 は Vb = Vs·R4/(R3 + R4) を与え、出力は Vab = Va − Vb です。R1/R2 = R3/R4、すなわち R1·R4 = R2·R3 のとき、ブリッジは平衡しています（Vab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは Rth = R1∥R2 + R3∥R4 のテブナン電源です。

節点電圧

Va = 4.5 + 0.1731 = 4.673 V

分圧器を解く

R₂ = 1000·4.673/(9 − 4.673) = 1080 Ω
ΔR = 1080 − 1000 = 80 Ω

答え

ΔR = 80 Ω
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: Vo = 15.9 mV

ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき Vo ≈ Vs·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では Vs·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では Vs·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。

抵抗の相対変化

ΔR/R = 2.12·1500·10⁻⁶ = 0.00318

ブリッジの出力

Vo = Vs·GF·ε = 5·0.00318 = 15.9 mV

答え

Vo = 15.9 mV
3.データ収録とサンプリング

答え: N = 14

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

必要なステップ数

1000 mV/0.1 mV = 10000

ビット数

log₂(10000) = 13.29
213 = 8192 < 10000 ≤ 214 = 16384
N = 14

答え

N = 14
4.データ収録とサンプリング

答え: N = 9

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

N について解く

N ≥ (55 − 1.76)/6.02 = 8.844

切り上げる

N = 9
確認: 6.02·9 + 1.76 = 55.94 dB ≥ 55 dB

答え

N = 9
5.オペアンプ回路

答え: Vin,max = 6 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

利得

|Av| = Rf/R1 = 2/1 = 2

クリップ前の最大入力

Vin,max = Vsat/|Av| = 12/2 = 6 V

答え

Vin,max = 6 V
6.オペアンプ回路

答え: Vout = −0.4055 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

入力電流

V₋ = 0 なので、各入力抵抗には入力電圧がそのままかかります。

I1 = V1/R1 = −0.2/10 = −0.02 mA
I2 = V2/R2 = 2/4.7 = 0.4255 mA
If = I1 + I2 = 0.4055 mA

出力電圧

Vout = −Rf·If = −1·0.4055 = −0.4055 V

答え

Vout = −0.4055 V
7.抵抗の直列・並列

答え: Req = 6.2 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 3 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAR4​12 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 4 + 12 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 4·16/(4+16) = 3.2 Ω
Req = R1 + 3.2 = 3 + 3.2 = 6.2 Ω

答え

Req = 6.2 Ω
8.抵抗の直列・並列

答え: IR2 = 0.1783 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 25 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​6 ΩBR6​12 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 3 + 12 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 4.286 Ω
R3 + 4.286 = 34.29 Ω
R2 ∥ 34.29 = 4.364 Ω
Req = R1 + 4.364 = 25 + 4.364 = 29.36 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 6/29.36 = 0.2043 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0.2043·25 = 0.8916 V
IR2 = VA/R2 = 0.8916/5 = 0.1783 A

答え

IR2 = 0.1783 A
9.テブナン・ノートン

答え: IL = 0.4494 A

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω短絡R2​15 ΩAabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 12·15/(12+15) = 6.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6.667 + 20 = 26.67 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAab+−Vth​

開放電圧 Vth を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·15/(12+15) = 13.33 V
Rth​ = 26.67 Ω+−Vth​13.33 VRL​3 ΩIL​

負荷をテブナン等価回路につなぐ

テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。

IL = Vth/(Rth + RL) = 13.33/(26.67 + 3) = 0.4494 A
10.テブナン・ノートン

答え: Vth = −65.71 V

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω短絡R2​4 ΩA開放BabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 10·4/(10+4) = 2.857 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.857 + 12 = 14.86 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

開放電圧 Vth を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8.571 + (−5)·2.857 = −5.714 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −5.714 + (−5)·12 = −65.71 V

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