1公式と解法
ホイートストンブリッジとひずみゲージ
- 分圧器の電圧
- Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
- 排泄量
- Vab = Va − Vb
- 出納
- R1/R2 = R3/R4
- スライドワイヤブリッジ
- R/Rx = l/(100 − l)
- テブナン抵抗
- Rth = R1∥R2 + R3∥R4
- ゲージ率
- ΔR/R = GF·ε
- ブリッジの出力
- 1/4 ブリッジ Vs·GF·ε/4、1/2 ブリッジ Vs·GF·ε/2、フルブリッジ Vs·GF·ε
- 微小変化、1 辺のみ
- Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
- 応力
- σ = E·ε
解き方
- ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
- 平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
- 不平衡ブリッジでは、分圧器から Va と Vb を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
- ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて Vs·GF·ε/4、/2、×1 を使います。
データ収録とサンプリング
- ナイキスト条件
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- エイリアス周波数
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- ステップ幅
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- 量子化誤差（四捨五入）
- ±½ LSB
- 切り捨て ADC のコード
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- 分解能 r に必要なビット数
- 2ᴺ ≥ span/r
- 理想 SQNR（フルスケールの正弦波）
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- データレート
- チャネル数 × fs × N bit/s
- マルチプレクス ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
- ボーレート分周比
- baud = fclk/(16·D)
解き方
- まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
- サンプリングの問題では、各周波数を fs/2 と比べます。それより高い周波数は、fs の最も近い整数倍を使って fa = |f − k·fs| の位置に現れます。
- 分解能の問題では、1 LSB = VFSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能 を満たす最小の N を求めます。
- データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。
オペアンプ回路
- 反転増幅器
- Vout = −(Rf/Rin)·Vin
- 非反転増幅器
- Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
- 加算増幅器
- Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
- 理想オペアンプ
- V+ = V−, Iin = 0
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
テブナン・ノートン
- テブナン電圧
- Vth = Vopen circuit
- テブナン抵抗
- Rth：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
- ノートン電流
- IN = Vth/Rth
- 負荷電流
- IL = Vth/(Rth + RL)
- 最大電力伝送
- RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
解き方
- 負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
- a と b の間の開放電圧を求めます：これが Vth です。
- 独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが Rth です。
- 負荷を等価回路に戻します：Vth と Rth の直列です。
- ノートン等価回路には変換します：IN = Vth/Rth、RN = Rth を並列に接続します。
2演習問題
1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう
4 つの辺がすべて 200 Ω のブリッジで、Vs = 15 V です。センサ R₂ が ΔR = 1 Ω だけ増加します。微小変化の近似を使って、出力 Vab を mV で求めなさい。
Vs = 15 VR = 200 ΩΔR = 1 Ω
Vab = mV
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい
アクティブゲージ 1 枚の 1/4 ブリッジ（GF = 2）に 3 V を加えます。荷重がかかると、出力は 2.25 mV を示します。ひずみ ε を µε で求めなさい。
Vs = 3 VGF = 2Vo = 2.25 mV
ε = µε
3.データ収録とサンプリングふつう
センサが 距離 を 100 mm の範囲で測定し、その出力が ADC の入力範囲全体を満たします。読み取りは 0.1 mm を分解できなければなりません。ADC に必要な最小のビット数 N を求めなさい。
範囲 = 100 mm分解能 = 0.1 mm
N =
4.データ収録とサンプリングむずかしい
オーディオの測定で、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比が少なくとも 96 dB 必要です。ADC の最小ビット数 N を求めなさい。
SQNR ≥ 96 dB
N =
5.オペアンプ回路ふつう
オペアンプは理想的で、±15 V 電源で動作する。 出力電圧 Vout を求めよ。
Vin = 1.4 VR1 = 2 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
6.オペアンプ回路むずかしい
加算増幅器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使う。 出力電圧 Vout を求めよ。
V1 = −1 VV2 = 0.4 VR1 = 4.7 kΩR2 = 47 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
7.抵抗の直列・並列ふつう
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 15 VR1 = 6 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 12 Ω
Req = Ω
8.抵抗の直列・並列むずかしい
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 ΩR4 = 10 ΩR5 = 8 ΩR6 = 15 Ω
IR2 = A
9.テブナン・ノートンふつう
端子 a–b から見たテブナン電圧 Vth を求めよ。
V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 15 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
10.テブナン・ノートンむずかしい
端子 a–b から見たテブナン電圧 Vth を求めよ。
V1 = 24 VIs = 1 AR1 = 25 ΩR2 = 15 ΩR3 = 25 Ω
Vth = V
3溶液
1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ
答え: Vab = 18.75 mV
ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 Vs を共有します。左の分圧器 R1–R2 は Va = Vs·R2/(R1 + R2) を、右の分圧器 R3–R4 は Vb = Vs·R4/(R3 + R4) を与え、出力は Vab = Va − Vb です。R1/R2 = R3/R4、すなわち R1·R4 = R2·R3 のとき、ブリッジは平衡しています（Vab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは Rth = R1∥R2 + R3∥R4 のテブナン電源です。
線形化した出力
Vab ≈ 15·0.005/4 = 18.75 mV
厳密な値は 18.7 mV です。ΔR/R が小さいうちは、近似はよく合います。
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ
答え: ε = 1500 µε
ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき Vo ≈ Vs·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では Vs·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では Vs·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。
1/4 ブリッジの式を解く
ε = 4·0.00225/(3·2) = 0.0015
3.データ収録とサンプリング
答え: N = 10
ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。
ビット数
log₂(1000) = 9.966
29 = 512 < 1000 ≤ 210 = 1024
N = 10
4.データ収録とサンプリング
答え: N = 16
ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。
N について解く
N ≥ (96 − 1.76)/6.02 = 15.65
切り上げる
N = 16
確認: 6.02·16 + 1.76 = 98.08 dB ≥ 96 dB
5.オペアンプ回路
答え: Vout = 8.4 V
理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。
反転入力が入力に追従する
V₋ = V₊ = 1.4 V
I = V₋/R1 = 1.4/2 = 0.7 mA
出力電圧
R₁ の電流は Rf も流れます。
Vout = V₋ + I·Rf = 1.4 + 0.7·10 = 8.4 V
6.オペアンプ回路
答え: Vout = 2.043 V
理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。
入力電流
V₋ = 0 なので、各入力抵抗には入力電圧がそのままかかります。
I1 = V1/R1 = −1/4.7 = −0.2128 mA
I2 = V2/R2 = 0.4/47 = 0.008511 mA
If = I1 + I2 = −0.2043 mA
出力電圧
Vout = −Rf·If = −10·(−0.2043) = 2.043 V
7.抵抗の直列・並列
答え: Req = 7.765 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 3 + 12 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 2·15/(2+15) = 1.765 Ω
Req = R1 + 1.765 = 6 + 1.765 = 7.765 Ω
8.抵抗の直列・並列
答え: IR2 = 0.6581 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 8 + 15 = 23 Ω
R4 ∥ 23 = 6.97 Ω
R3 + 6.97 = 8.97 Ω
R2 ∥ 8.97 = 4.229 Ω
Req = R1 + 4.229 = 3 + 4.229 = 7.229 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 9/7.229 = 1.245 A
R₂ を流れる電流
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 1.245·3 = 5.265 V
IR2 = VA/R2 = 5.265/8 = 0.6581 A
9.テブナン・ノートン
答え: Vth = 18 V
テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。
すべての電源を止めて Rth を求める
電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。
R1 ∥ R2 = 5·15/(5+15) = 3.75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.75 + 20 = 23.75 Ω
開放電圧 Vth を求める
a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·15/(5+15) = 18 V
10.テブナン・ノートン
答え: Vth = 43.38 V
テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。
すべての電源を止めて Rth を求める
電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。
R1 ∥ R2 = 25·15/(25+15) = 9.375 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 9.375 + 25 = 34.38 Ω
開放電圧 Vth を求める
a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 9 + 1·9.375 = 18.38 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 18.38 + 1·25 = 43.38 V