計測と計装：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

分圧器の電圧: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
排泄量: V_ab = V_a − V_b
出納: R₁/R₂ = R₃/R₄
スライドワイヤブリッジ: R/R_x = l/(100 − l)
テブナン抵抗: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
ゲージ率: ΔR/R = GF·ε
ブリッジの出力: 1/4 ブリッジ V_s·GF·ε/4、1/2 ブリッジ V_s·GF·ε/2、フルブリッジ V_s·GF·ε
微小変化、1 辺のみ: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
応力: σ = E·ε

解き方

ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
不平衡ブリッジでは、分圧器から V_a と V_b を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて V_s·GF·ε/4、/2、×1 を使います。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
エイリアス周波数: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
ステップ幅: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）: ±½ LSB
切り捨て ADC のコード: D = ⌊V_in/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート: チャネル数 × f_s × N bit/s
マルチプレクス ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比: baud = f_clk/(16·D)

解き方

まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
サンプリングの問題では、各周波数を f_s/2 と比べます。それより高い周波数は、f_s の最も近い整数倍を使って f_a = |f − k·f_s| の位置に現れます。
分解能の問題では、1 LSB = V_FSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能を満たす最小の N を求めます。
データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

オペアンプ回路

反転増幅器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
非反転増幅器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加算増幅器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想オペアンプ: V₊ = V₋, I_in = 0

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう

抵抗 500 Ω の検流計が、図のブリッジの a と b の間につながれています（V_s = 2 V）。a から b へ流れる検流計電流 I_g を µA で求めなさい。

V_s = 2 VR₁ = 50 ΩR₂ = 80 ΩR₃ = 800 ΩR₄ = 400 ΩR_g = 500 Ω

I_g = µA

2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい

ゲージ率 2.05 の 120 Ω のひずみゲージを鋼棒に接着します。荷重がかかると抵抗が 0.246 Ω 増加します。ひずみ ε をマイクロストレイン (µε) で求めなさい。

R = 120 ΩGF = 2.05ΔR = 0.246 Ω

ε = µε

3.データ収録とサンプリングふつう

センサが温度を 100 °C の範囲で測定し、その出力が ADC の入力範囲全体を満たします。読み取りは 0.1 °C を分解できなければなりません。ADC に必要な最小のビット数 N を求めなさい。

範囲 = 100 °C分解能 = 0.1 °C

N =

4.データ収録とサンプリングむずかしい

8 チャネルのマルチプレクサが 1 つの ADC に接続されています。1 回の変換に 20 µs かかり、チャネルを切り替えるたびに入力の整定に 2.5 µs かかります。チャネルは休みなく順に走査されます。各チャネルのサンプリング周波数 f_s を kHz で求めなさい。

n = 8t_c = 20 µst_set = 2.5 µs

f_s = kHz

5.オペアンプ回路ふつう

オペアンプは理想的で、±15 V 電源で動作する。出力電圧 V_out を求めよ。

V_in = 5 VR_a = 10 kΩR_b = 100 kΩR₁ = 10 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

6.オペアンプ回路むずかしい

加算増幅器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使う。帰還抵抗を出力向きに流れる電流 I_f を求めよ。

V₁ = −1.3 VV₂ = 0.3 VR₁ = 1 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 2 kΩ

I_f = mA

7.抵抗の直列・並列ふつう

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

8.抵抗の直列・並列むずかしい

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 6 Ω

I_R2 = A

9.テブナン・ノートンふつう

ノートン電流 I_N を求めよ：端子を短絡したとき a から b へ流れる電流。

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 Ω

I_N = A

10.テブナン・ノートンむずかしい

a–b 間に負荷 R_L = 10 Ω を接続する。テブナン等価回路を使って、負荷で消費される電力 P_L を求めよ。

V₁ = 12 VI_s = 2.5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 10 Ω

P_L = W

3溶液

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: I_g = 707.4 µA

ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 V_s を共有します。左の分圧器 R₁–R₂ は V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) を、右の分圧器 R₃–R₄ は V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄) を与え、出力は V_ab = V_a − V_b です。R₁/R₂ = R₃/R₄、すなわち R₁·R₄ = R₂·R₃ のとき、ブリッジは平衡しています（V_ab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ のテブナン電源です。

テブナン電圧

V_th = 2·(80/130 − 400/1200) = 0.5641 V

テブナン抵抗

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 297.4 Ω

検流計電流

I_g = 0.5641/(297.4 + 500) = 707.4 µA

答え

I_g = 707.4 µA

2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: ε = 1000 µε

ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき V_o ≈ V_s·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では V_s·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では V_s·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。

抵抗の相対変化

ΔR/R = 0.246/120 = 0.00205

ひずみ

ε = 0.00205/2.05 = 0.001 = 1000 µε

答え

ε = 1000 µε

3.データ収録とサンプリング

答え: N = 10

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 V_FSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = V_FSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊V_in/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

必要なステップ数

100/0.1 = 1000

ビット数

log₂(1000) = 9.966

2⁹ = 512 < 1000 ≤ 2¹⁰ = 1024

N = 10

答え

N = 10

4.データ収録とサンプリング

答え: f_s = 5.556 kHz

データレート：各チャネルは毎秒 f_s 個の N ビットのサンプルを出力するので、生のレートはチャネル数 × f_s × N bit/s です。メモリ上では 1 サンプルが整数バイトを占める（12 ビットのサンプルは 2 バイトで保存される）ので、記録に必要なメモリはチャネル数 × f_s × 1 サンプルのバイト数 × 時間です。マルチプレクス ADC はチャネルを 1 つずつ順に変換します：1 回の変換（整定時間を含む）に t かかるので、n チャネルの 1 巡に n·t かかり、各チャネルは 1/(n·t) でサンプリングされます。

1 チャネルあたりの時間

20 + 2.5 = 22.5 µs

1 回の走査の時間

8·22.5 = 180 µs

1 チャネルあたりのサンプリング周波数

f_s = 1/180 µs = 5.556 kHz

答え

f_s = 5.556 kHz

5.オペアンプ回路

答え: V_out = 9.091 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

+ 入力の電圧

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 5·100/(10 + 100) = 4.545 V

非反転増幅の利得

V₋ = V₊ で、R₁ を流れる電流は R_f も流れます。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 4.545·(1 + 10/10) = 9.091 V

答え

V_out = 9.091 V

6.オペアンプ回路

答え: I_f = −1.286 mA

入力電流

V₋ = 0 なので、各入力抵抗には入力電圧がそのままかかります。

I₁ = V₁/R₁ = −1.3/1 = −1.3 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0.3/22 = 0.01364 mA

I_f = I₁ + I₂ = −1.286 mA

答え

I_f = −1.286 mA

7.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 2 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 8 + 4 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 4·12/(4+12) = 3 Ω

R_eq = R₁ + 3 = 3 + 3 = 6 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/6 = 2 A

答え

I_R1 = 2 A

8.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 0.4168 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 25 + 6 = 31 Ω

R₄ ∥ 31 = 5.027 Ω

R₃ + 5.027 = 20.03 Ω

R₂ ∥ 20.03 = 4.617 Ω

R_eq = R₁ + 4.617 = 12 + 4.617 = 16.62 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/16.62 = 0.5416 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0.5416·12 = 2.501 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.501/6 = 0.4168 A

答え

I_R2 = 0.4168 A

9.テブナン・ノートン

答え: I_N = 0.3913 A

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 5·4/(5+4) = 2.222 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.222 + 8 = 10.22 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·4/(5+4) = 4 V

ノートン等価回路

ノートン電源は、同じ回路を R_th と並列な電流源として見たものです。その電流は a–b の短絡電流です。

I_N = V_th/R_th = 4/10.22 = 0.3913 A

10.テブナン・ノートン

答え: P_L = 46.73 W

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 12·30/(12+30) = 8.571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8.571 + 30 = 38.57 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8.571 + 2.5·8.571 = 30 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 30 + 2.5·30 = 105 V

負荷をテブナン等価回路につなぐ

テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 105/(38.57 + 10) = 2.162 A

P_L = I_L²·R_L = 2.162²·10 = 46.73 W

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計測と計装：直前対策パック

1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

解き方

データ収録とサンプリング

解き方

オペアンプ回路

抵抗の直列・並列

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

テブナン電圧

テブナン抵抗

検流計電流

答え

抵抗の相対変化

ひずみ

答え

必要なステップ数

ビット数

答え

1 チャネルあたりの時間

1 回の走査の時間

1 チャネルあたりのサンプリング周波数

答え

+ 入力の電圧

非反転増幅の利得

答え

入力電流

答え

遠い端から抵抗をまとめる

電源からの電流

答え

遠い端から抵抗をまとめる

電源からの電流

R₂ を流れる電流

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

ノートン等価回路

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

負荷をテブナン等価回路につなぐ

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める