1公式と解法
ホイートストンブリッジとひずみゲージ
- 分圧器の電圧
- Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
- 排泄量
- Vab = Va − Vb
- 出納
- R1/R2 = R3/R4
- スライドワイヤブリッジ
- R/Rx = l/(100 − l)
- テブナン抵抗
- Rth = R1∥R2 + R3∥R4
- ゲージ率
- ΔR/R = GF·ε
- ブリッジの出力
- 1/4 ブリッジ Vs·GF·ε/4、1/2 ブリッジ Vs·GF·ε/2、フルブリッジ Vs·GF·ε
- 微小変化、1 辺のみ
- Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
- 応力
- σ = E·ε
解き方
- ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
- 平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
- 不平衡ブリッジでは、分圧器から Va と Vb を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
- ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて Vs·GF·ε/4、/2、×1 を使います。
データ収録とサンプリング
- ナイキスト条件
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- エイリアス周波数
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- ステップ幅
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- 量子化誤差（四捨五入）
- ±½ LSB
- 切り捨て ADC のコード
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- 分解能 r に必要なビット数
- 2ᴺ ≥ span/r
- 理想 SQNR（フルスケールの正弦波）
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- データレート
- チャネル数 × fs × N bit/s
- マルチプレクス ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
- ボーレート分周比
- baud = fclk/(16·D)
解き方
- まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
- サンプリングの問題では、各周波数を fs/2 と比べます。それより高い周波数は、fs の最も近い整数倍を使って fa = |f − k·fs| の位置に現れます。
- 分解能の問題では、1 LSB = VFSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能 を満たす最小の N を求めます。
- データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。
オペアンプ回路
- 反転増幅器
- Vout = −(Rf/Rin)·Vin
- 非反転増幅器
- Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
- 加算増幅器
- Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
- 理想オペアンプ
- V+ = V−, Iin = 0
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
テブナン・ノートン
- テブナン電圧
- Vth = Vopen circuit
- テブナン抵抗
- Rth：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
- ノートン電流
- IN = Vth/Rth
- 負荷電流
- IL = Vth/(Rth + RL)
- 最大電力伝送
- RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
解き方
- 負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
- a と b の間の開放電圧を求めます：これが Vth です。
- 独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが Rth です。
- 負荷を等価回路に戻します：Vth と Rth の直列です。
- ノートン等価回路には変換します：IN = Vth/Rth、RN = Rth を並列に接続します。
2演習問題
1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう
4 つの辺がすべて 400 Ω のブリッジで、Vs = 5 V です。センサ R₂ が ΔR = 80 Ω だけ増加します。厳密な出力 Vab を mV で求めなさい。
Vs = 5 VR = 400 ΩΔR = 80 Ω
Vab = mV
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい
1/4 ブリッジ（アクティブゲージ 1 枚、GF = 2.05）に 5 V を加えます。測定する最大のひずみは 1200 µε で、そのときアナログ–デジタル変換器の入力で 5 V にしなければなりません。増幅器のゲイン G を求めなさい。
Vs = 5 VGF = 2.05εmax = 1200 µεVFS = 5 V
G =
3.データ収録とサンプリングふつう
入力範囲 0〜10 V の 12 ビット ADC が切り捨てを行い、その出力コードは ⌊Vin/LSB⌋、1 LSB = VFSR/2ᴺ です。入力 6.718 V に対する 10 進の出力コード D を求めなさい。
N = 12VFSR = 10 VVin = 6.718 V
D =
4.データ収録とサンプリングむずかしい
8 チャネルのマルチプレクサが 1 つの ADC に接続されています。1 回の変換に 8 µs かかり、チャネルを切り替えるたびに入力の整定に 2.5 µs かかります。チャネルは休みなく順に走査されます。各チャネルのサンプリング周波数 fs を kHz で求めなさい。
n = 8tc = 8 µstset = 2.5 µs
fs = kHz
5.オペアンプ回路ふつう
オペアンプは理想的で、±15 V 電源で動作する。 出力電圧 Vout を求めよ。
Vin = −4 VRa = 47 kΩRb = 22 kΩR1 = 2 kΩRf = 4.7 kΩ
Vout = V
6.オペアンプ回路むずかしい
オペアンプは理想的で、±15 V 電源で動作する。 抵抗の比はそろっていない。出力電圧 Vout を求めよ。
V1 = 0.7 VV2 = 0.5 VR1 = 47 kΩR2 = 100 kΩR3 = 47 kΩR4 = 1 kΩ
Vout = V
7.抵抗の直列・並列ふつう
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
V1 = 10 VR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
8.抵抗の直列・並列むずかしい
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 5 VR1 = 12 ΩR2 = 4 ΩR3 = 25 ΩR4 = 6 ΩR5 = 25 ΩR6 = 30 Ω
IR1 = A
9.テブナン・ノートンふつう
ノートン電流 IN を求めよ：端子を短絡したとき a から b へ流れる電流。
V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 Ω
IN = A
10.テブナン・ノートンむずかしい
a–b 間に負荷 RL = 12 Ω を接続する。回路の残りをテブナン等価回路に置き換え、負荷電流 IL を求めよ。
V1 = 6 VIs = 4 AR1 = 6 ΩR2 = 2 ΩR3 = 5 ΩRL = 12 Ω
IL = A
3溶液
1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ
答え: Vab = 227.3 mV
ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 Vs を共有します。左の分圧器 R1–R2 は Va = Vs·R2/(R1 + R2) を、右の分圧器 R3–R4 は Vb = Vs·R4/(R3 + R4) を与え、出力は Vab = Va − Vb です。R1/R2 = R3/R4、すなわち R1·R4 = R2·R3 のとき、ブリッジは平衡しています（Vab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは Rth = R1∥R2 + R3∥R4 のテブナン電源です。
節点電圧
Va = 5·480/880 = 2.727 V
Vb = 2.5 V
線形の見積もり Vs·ΔR/(4R) = 250 mV は 10 % 大きすぎます：1/4 ブリッジは完全には線形ではありません。
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ
答え: G = 1626
ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき Vo ≈ Vs·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では Vs·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では Vs·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。
3.データ収録とサンプリング
答え: D = 2751
ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。
ステップ幅
1 LSB = 10/212 = 2.441 mV
コード
Vin/LSB = 6718/2.441 = 2752
コード = ⌊2752⌋ = 2751
4.データ収録とサンプリング
答え: fs = 11.9 kHz
データレート：各チャネルは毎秒 fs 個の N ビットのサンプルを出力するので、生のレートは チャネル数 × fs × N bit/s です。メモリ上では 1 サンプルが整数バイトを占める（12 ビットのサンプルは 2 バイトで保存される）ので、記録に必要なメモリは チャネル数 × fs × 1 サンプルのバイト数 × 時間 です。マルチプレクス ADC はチャネルを 1 つずつ順に変換します：1 回の変換（整定時間を含む）に t かかるので、n チャネルの 1 巡に n·t かかり、各チャネルは 1/(n·t) でサンプリングされます。
5.オペアンプ回路
答え: Vout = −4.272 V
理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。
+ 入力の電圧
V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = −4·22/(47 + 22) = −1.275 V
非反転増幅の利得
V₋ = V₊ で、R₁ を流れる電流は Rf も流れます。
Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = −1.275·(1 + 4.7/2) = −4.272 V
6.オペアンプ回路
答え: Vout = −1.457 V
理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。
+ 入力の電圧
V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 0.5·1/(47 + 1) = 0.01042 V
2 つの入力を重ね合わせる
V₂ = 0 のとき、V₁ から見ると反転増幅器です。V₁ = 0 のとき、V₊ は非反転利得 1 + R₂/R₁ で増幅されます。
Vout = −(100/47)·0.7 + (1 + 100/47)·0.01042 = −1.489 + 0.03258 = −1.457 V
7.抵抗の直列・並列
答え: IR2 = 0.1538 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 12 + 4 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 20·16/(20+16) = 8.889 Ω
Req = R1 + 8.889 = 20 + 8.889 = 28.89 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 10/28.89 = 0.3462 A
R₂ を流れる電流
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0.3462·20 = 3.077 V
IR2 = VA/R2 = 3.077/20 = 0.1538 A
8.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.3219 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 25 + 30 = 55 Ω
R4 ∥ 55 = 5.41 Ω
R3 + 5.41 = 30.41 Ω
R2 ∥ 30.41 = 3.535 Ω
Req = R1 + 3.535 = 12 + 3.535 = 15.54 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 5/15.54 = 0.3219 A
9.テブナン・ノートン
答え: IN = 0.122 A
テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。
すべての電源を止めて Rth を求める
電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。
R1 ∥ R2 = 10·2/(10+2) = 1.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.667 + 12 = 13.67 Ω
開放電圧 Vth を求める
a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·2/(10+2) = 1.667 V
ノートン等価回路
ノートン電源は、同じ回路を R_th と並列な電流源として見たものです。その電流は a–b の短絡電流です。
IN = Vth/Rth = 1.667/13.67 = 0.122 A
10.テブナン・ノートン
答え: IL = −1.324 A
テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。
すべての電源を止めて Rth を求める
電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。
R1 ∥ R2 = 6·2/(6+2) = 1.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.5 + 5 = 6.5 Ω
開放電圧 Vth を求める
a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1.5 + (−4)·1.5 = −4.5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −4.5 + (−4)·5 = −24.5 V
負荷をテブナン等価回路につなぐ
テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。
IL = Vth/(Rth + RL) = −24.5/(6.5 + 12) = −1.324 A