計測と計装：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

分圧器の電圧: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
排泄量: V_ab = V_a − V_b
出納: R₁/R₂ = R₃/R₄
スライドワイヤブリッジ: R/R_x = l/(100 − l)
テブナン抵抗: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
ゲージ率: ΔR/R = GF·ε
ブリッジの出力: 1/4 ブリッジ V_s·GF·ε/4、1/2 ブリッジ V_s·GF·ε/2、フルブリッジ V_s·GF·ε
微小変化、1 辺のみ: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
応力: σ = E·ε

解き方

ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
不平衡ブリッジでは、分圧器から V_a と V_b を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて V_s·GF·ε/4、/2、×1 を使います。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
エイリアス周波数: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
ステップ幅: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）: ±½ LSB
切り捨て ADC のコード: D = ⌊V_in/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート: チャネル数 × f_s × N bit/s
マルチプレクス ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比: baud = f_clk/(16·D)

解き方

まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
サンプリングの問題では、各周波数を f_s/2 と比べます。それより高い周波数は、f_s の最も近い整数倍を使って f_a = |f − k·f_s| の位置に現れます。
分解能の問題では、1 LSB = V_FSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能を満たす最小の N を求めます。
データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

オペアンプ回路

反転増幅器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
非反転増幅器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加算増幅器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想オペアンプ: V₊ = V₋, I_in = 0

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう

抵抗 20 Ω の検流計が、図のブリッジの a と b の間につながれています（V_s = 2 V）。a から b へ流れる検流計電流 I_g を µA で求めなさい。

V_s = 2 VR₁ = 500 ΩR₂ = 400 ΩR₃ = 100 ΩR₄ = 150 ΩR_g = 20 Ω

I_g = µA

2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい

350 Ω の辺をもつブリッジに 3 V を加え、隣り合う辺にアクティブゲージ 2 枚、1 枚は引張、1 枚は圧縮（1/2 ブリッジ）とします。ゲージ率は 2、ひずみは 500 µε です。ブリッジの出力 V_o を mV で求めなさい。

V_s = 3 VGF = 2ε = 500 µε

V_o = mV

3.データ収録とサンプリングふつう

20 ビット ADC の、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR を求めなさい。

N = 20

SQNR = dB

4.データ収録とサンプリングむずかしい

16 ビット ADC がすべてのサンプルを UART で 230400 baud、8E1 形式（スタートビット、データ 8 ビット、偶数パリティ、ストップビット 1 個）で送ります。各サンプルは 2 バイトの整数バイトで送られ、通信路は常にふさがっています。エイリアシングなしにサンプリングできる最高の信号周波数 f_max を Hz で求めなさい。

baud = 230400 BdN = 168E1

f_max = Hz

5.オペアンプ回路ふつう

差動増幅器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使い、R₃ = R₁、R₄ = R₂ である。出力電圧 V_out を求めよ。

V₁ = −0.1 VV₂ = 2.2 VR₁ = R₃ = 47 kΩR₂ = R₄ = 4.7 kΩ

V_out = V

6.オペアンプ回路むずかしい

加算増幅器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使う。出力電圧 V_out を求めよ。

V₁ = 0.2 VV₂ = 1.1 VR₁ = 100 kΩR₂ = 1 kΩR_f = 1 kΩ

V_out = V

7.抵抗の直列・並列ふつう

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

8.抵抗の直列・並列むずかしい

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 15 VR₁ = 30 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

9.テブナン・ノートンふつう

端子 a–b から見たテブナン電圧 V_th を求めよ。

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 Ω

V_th = V

10.テブナン・ノートンむずかしい

端子 a–b から見たテブナン電圧 V_th を求めよ。

V₁ = 5 VI_s = 3 AR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 Ω

V_th = V

3溶液

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: I_g = −1029 µA

ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 V_s を共有します。左の分圧器 R₁–R₂ は V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) を、右の分圧器 R₃–R₄ は V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄) を与え、出力は V_ab = V_a − V_b です。R₁/R₂ = R₃/R₄、すなわち R₁·R₄ = R₂·R₃ のとき、ブリッジは平衡しています（V_ab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ のテブナン電源です。

テブナン電圧

V_th = 2·(400/900 − 150/250) = −0.3111 V

テブナン抵抗

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 282.2 Ω

検流計電流

I_g = −0.3111/(282.2 + 20) = −1029 µA

答え

I_g = −1029 µA

2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: V_o = 1.5 mV

ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき V_o ≈ V_s·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では V_s·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では V_s·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。

抵抗の相対変化

ΔR/R = 2·500·10⁻⁶ = 0.001

ブリッジの出力

V_o = V_s·GF·ε/2 = 3·0.001/2 = 1.5 mV

答え

V_o = 1.5 mV

3.データ収録とサンプリング

答え: SQNR = 122.2 dB

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 V_FSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = V_FSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊V_in/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

理想 SQNR

SQNR = 6.02·20 + 1.76 = 122.2 dB

答え

SQNR = 122.2 dB

4.データ収録とサンプリング

答え: f_max = 5236 Hz

UART：調歩同期式のシリアル通信は、各バイトをフレームとして送ります：スタートビット（Low）1 つ、データビット、任意のパリティビット、ストップビット（High）1 つまたは 2 つ。ボーレートは毎秒のビット数なので、1 ビットの長さは T_b = 1/ボーレート、n ビットのフレームの長さは n/ボーレートです。よく使われる 8N1 形式は 1 バイトが 10 ビットです。ボーレート発生器はクロックを分周します：ボーレート = f_clk/(16·D)、D は整数なので、実際のボーレートは目標値とわずかに異なります。誤差がおよそ 2 % 未満なら、たいてい許容されます。

回線上の 1 サンプルあたりのビット数

2·11 = 22 bit

最高サンプリング周波数

f_s,max = 230400/22 = 10473 Hz

ナイキストの限界

f_max = 10473/2 = 5236 Hz

答え

f_max = 5236 Hz

5.オペアンプ回路

答え: V_out = 0.23 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

入力の電圧

R₃ と R₄ には同じ電流が流れるので分圧回路をつくり、帰還により V₋ = V₊ となります。

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 2.2·4.7/(47 + 4.7) = 0.2 V

V₋ = V₊

反転入力での KCL

(−0.1 − 0.2)/47 = (0.2 − V_out)/4.7

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (4.7/47)·(2.2 − (−0.1)) = 0.23 V

答え

V_out = 0.23 V

6.オペアンプ回路

答え: V_out = −1.102 V

入力電流

V₋ = 0 なので、各入力抵抗には入力電圧がそのままかかります。

I₁ = V₁/R₁ = 0.2/100 = 0.002 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.1/1 = 1.1 mA

I_f = I₁ + I₂ = 1.102 mA

出力電圧

V_out = −R_f·I_f = −1·1.102 = −1.102 V

答え

V_out = −1.102 V

7.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 0.551 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 2 + 10 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 8·12/(8+12) = 4.8 Ω

R_eq = R₁ + 4.8 = 5 + 4.8 = 9.8 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/9.8 = 0.9184 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0.9184·5 = 4.408 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4.408/8 = 0.551 A

答え

I_R2 = 0.551 A

8.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 0.4135 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 6 + 30 = 36 Ω

R₄ ∥ 36 = 5.143 Ω

R₃ + 5.143 = 13.14 Ω

R₂ ∥ 13.14 = 6.273 Ω

R_eq = R₁ + 6.273 = 30 + 6.273 = 36.27 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/36.27 = 0.4135 A

答え

I_R1 = 0.4135 A

9.テブナン・ノートン

答え: V_th = 9.375 V

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 3·5/(3+5) = 1.875 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.875 + 4 = 5.875 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·5/(3+5) = 9.375 V

10.テブナン・ノートン

答え: V_th = −27 V

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 10·15/(10+15) = 6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6 + 4 = 10 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3 + (−3)·6 = −15 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −15 + (−3)·4 = −27 V

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1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

解き方

データ収録とサンプリング

解き方

オペアンプ回路

抵抗の直列・並列

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

テブナン電圧

テブナン抵抗

検流計電流

答え

抵抗の相対変化

ブリッジの出力

答え

理想 SQNR

答え

回線上の 1 サンプルあたりのビット数

最高サンプリング周波数

ナイキストの限界

答え

入力の電圧

反転入力での KCL

答え

入力電流

出力電圧

答え

遠い端から抵抗をまとめる

電源からの電流

R₂ を流れる電流

答え

遠い端から抵抗をまとめる

電源からの電流

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める