計測と計装：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

分圧器の電圧: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
排泄量: V_ab = V_a − V_b
出納: R₁/R₂ = R₃/R₄
スライドワイヤブリッジ: R/R_x = l/(100 − l)
テブナン抵抗: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
ゲージ率: ΔR/R = GF·ε
ブリッジの出力: 1/4 ブリッジ V_s·GF·ε/4、1/2 ブリッジ V_s·GF·ε/2、フルブリッジ V_s·GF·ε
微小変化、1 辺のみ: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
応力: σ = E·ε

解き方

ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
不平衡ブリッジでは、分圧器から V_a と V_b を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて V_s·GF·ε/4、/2、×1 を使います。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
エイリアス周波数: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
ステップ幅: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）: ±½ LSB
切り捨て ADC のコード: D = ⌊V_in/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート: チャネル数 × f_s × N bit/s
マルチプレクス ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比: baud = f_clk/(16·D)

解き方

まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
サンプリングの問題では、各周波数を f_s/2 と比べます。それより高い周波数は、f_s の最も近い整数倍を使って f_a = |f − k·f_s| の位置に現れます。
分解能の問題では、1 LSB = V_FSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能を満たす最小の N を求めます。
データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

オペアンプ回路

反転増幅器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
非反転増幅器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加算増幅器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想オペアンプ: V₊ = V₋, I_in = 0

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう

220 Ω のひずみゲージが、4 つの辺がすべて 220 Ω で励起電圧 10 V のブリッジの 1 辺（R₂）になっています。ゲージで消費される電力 P_g を mW で求めなさい。自己発熱が励起電圧を制限します。

V_s = 10 VR = 220 Ω

P_g = mW

2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい

E = 70 GPa の部材に貼ったひずみゲージ（GF = 2）が、3 V で励起される 1/4 ブリッジを構成しています。出力は 2.25 mV を示します。軸方向応力 σ を MPa で求めなさい。

V_s = 3 VGF = 2V_o = 2.25 mVE = 70 GPa

σ = MPa

3.データ収録とサンプリングふつう

入力範囲が 0〜3.3 V の ADC が、2 mV 以下のステップを分解しなければなりません。最小のビット数 N を求めなさい。

V_FSR = 3.3 V分解能 = 2 mV

N =

4.データ収録とサンプリングむずかしい

6 チャネルのマルチプレクサが 1 つの ADC に接続されています。1 回の変換に 8 µs かかり、チャネルを切り替えるたびに入力の整定に 5 µs かかります。チャネルは休みなく順に走査されます。各チャネルのサンプリング周波数 f_s を kHz で求めなさい。

n = 6t_c = 8 µst_set = 5 µs

f_s = kHz

5.オペアンプ回路ふつう

オペアンプは理想的で、±15 V 電源で動作する。出力電圧 V_out を求めよ。

V_in = 2 VR_a = 1 kΩR_b = 1 kΩR₁ = 10 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

6.オペアンプ回路むずかしい

オペアンプは理想的で、±15 V 電源で動作する。抵抗の比はそろっていない。出力電圧 V_out を求めよ。

V₁ = 1.3 VV₂ = 0.9 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 1 kΩR₃ = 100 kΩR₄ = 4.7 kΩ

V_out = V

7.抵抗の直列・並列ふつう

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

8.抵抗の直列・並列むずかしい

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 10 VR₁ = 25 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

9.テブナン・ノートンふつう

a–b 間に負荷 R_L = 2 Ω を接続する。回路の残りをテブナン等価回路に置き換え、負荷電流 I_L を求めよ。

V₁ = 10 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 ΩR_L = 2 Ω

I_L = A

10.テブナン・ノートンむずかしい

端子 a–b から見たテブナン電圧 V_th を求めよ。

V₁ = 36 VI_s = 4 AR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 Ω

V_th = V

3溶液

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: P_g = 113.6 mW

ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 V_s を共有します。左の分圧器 R₁–R₂ は V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) を、右の分圧器 R₃–R₄ は V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄) を与え、出力は V_ab = V_a − V_b です。R₁/R₂ = R₃/R₄、すなわち R₁·R₄ = R₂·R₃ のとき、ブリッジは平衡しています（V_ab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ のテブナン電源です。

ゲージにかかる電圧

V = 10/2 = 5 V

電力

P_g = 5²/220 = 113.6 mW

答え

P_g = 113.6 mW

2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: σ = 105 MPa

ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき V_o ≈ V_s·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では V_s·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では V_s·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。

ひずみ

ε = 4·0.00225/(3·2) = 0.0015

応力

σ = 70·10³ MPa·0.0015 = 105 MPa

答え

σ = 105 MPa

3.データ収録とサンプリング

答え: N = 11

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 V_FSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = V_FSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊V_in/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

必要なステップ数

3300 mV/2 mV = 1650

ビット数

log₂(1650) = 10.69

2¹⁰ = 1024 < 1650 ≤ 2¹¹ = 2048

N = 11

答え

N = 11

4.データ収録とサンプリング

答え: f_s = 12.82 kHz

データレート：各チャネルは毎秒 f_s 個の N ビットのサンプルを出力するので、生のレートはチャネル数 × f_s × N bit/s です。メモリ上では 1 サンプルが整数バイトを占める（12 ビットのサンプルは 2 バイトで保存される）ので、記録に必要なメモリはチャネル数 × f_s × 1 サンプルのバイト数 × 時間です。マルチプレクス ADC はチャネルを 1 つずつ順に変換します：1 回の変換（整定時間を含む）に t かかるので、n チャネルの 1 巡に n·t かかり、各チャネルは 1/(n·t) でサンプリングされます。

1 チャネルあたりの時間

8 + 5 = 13 µs

1 回の走査の時間

6·13 = 78 µs

1 チャネルあたりのサンプリング周波数

f_s = 1/78 µs = 12.82 kHz

答え

f_s = 12.82 kHz

5.オペアンプ回路

答え: V_out = 5.7 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

+ 入力の電圧

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 2·1/(1 + 1) = 1 V

非反転増幅の利得

V₋ = V₊ で、R₁ を流れる電流は R_f も流れます。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 1·(1 + 47/10) = 5.7 V

答え

V_out = 5.7 V

6.オペアンプ回路

答え: V_out = −0.2276 V

+ 入力の電圧

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 0.9·4.7/(100 + 4.7) = 0.0404 V

2 つの入力を重ね合わせる

V₂ = 0 のとき、V₁ から見ると反転増幅器です。V₁ = 0 のとき、V₊ は非反転利得 1 + R₂/R₁ で増幅されます。

V_out = −(1/4.7)·1.3 + (1 + 1/4.7)·0.0404 = −0.2766 + 0.049 = −0.2276 V

答え

V_out = −0.2276 V

7.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 0.4737 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 10 + 15 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 20·25/(20+25) = 11.11 Ω

R_eq = R₁ + 11.11 = 10 + 11.11 = 21.11 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/21.11 = 0.8526 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 0.8526·10 = 9.474 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9.474/20 = 0.4737 A

答え

I_R2 = 0.4737 A

8.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 0.3098 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 10 + 12 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 10.48 Ω

R₃ + 10.48 = 30.48 Ω

R₂ ∥ 30.48 = 3.536 Ω

R_eq = R₁ + 3.536 = 25 + 3.536 = 28.54 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/28.54 = 0.3504 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0.3504·25 = 1.239 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.239/4 = 0.3098 A

答え

I_R2 = 0.3098 A

9.テブナン・ノートン

答え: I_L = 0.4032 A

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 12·20/(12+20) = 7.5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7.5 + 6 = 13.5 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·20/(12+20) = 6.25 V

負荷をテブナン等価回路につなぐ

テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 6.25/(13.5 + 2) = 0.4032 A

10.テブナン・ノートン

答え: V_th = 87 V

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 4·12/(4+12) = 3 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3 + 12 = 15 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 27 + 4·3 = 39 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 39 + 4·12 = 87 V

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計測と計装：直前対策パック

1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

解き方

データ収録とサンプリング

解き方

オペアンプ回路

抵抗の直列・並列

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

ゲージにかかる電圧

電力

答え

ひずみ

応力

答え

必要なステップ数

ビット数

答え

1 チャネルあたりの時間

1 回の走査の時間

1 チャネルあたりのサンプリング周波数

答え

+ 入力の電圧

非反転増幅の利得

答え

+ 入力の電圧

2 つの入力を重ね合わせる

答え

遠い端から抵抗をまとめる

電源からの電流

R₂ を流れる電流

答え

遠い端から抵抗をまとめる

電源からの電流

R₂ を流れる電流

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

負荷をテブナン等価回路につなぐ

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める