1公式と解法
ホイートストンブリッジとひずみゲージ
- 分圧器の電圧
- Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
- 排泄量
- Vab = Va − Vb
- 出納
- R1/R2 = R3/R4
- スライドワイヤブリッジ
- R/Rx = l/(100 − l)
- テブナン抵抗
- Rth = R1∥R2 + R3∥R4
- ゲージ率
- ΔR/R = GF·ε
- ブリッジの出力
- 1/4 ブリッジ Vs·GF·ε/4、1/2 ブリッジ Vs·GF·ε/2、フルブリッジ Vs·GF·ε
- 微小変化、1 辺のみ
- Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
- 応力
- σ = E·ε
解き方
- ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
- 平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
- 不平衡ブリッジでは、分圧器から Va と Vb を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
- ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて Vs·GF·ε/4、/2、×1 を使います。
データ収録とサンプリング
- ナイキスト条件
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- エイリアス周波数
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- ステップ幅
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- 量子化誤差（四捨五入）
- ±½ LSB
- 切り捨て ADC のコード
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- 分解能 r に必要なビット数
- 2ᴺ ≥ span/r
- 理想 SQNR（フルスケールの正弦波）
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- データレート
- チャネル数 × fs × N bit/s
- マルチプレクス ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
- ボーレート分周比
- baud = fclk/(16·D)
解き方
- まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
- サンプリングの問題では、各周波数を fs/2 と比べます。それより高い周波数は、fs の最も近い整数倍を使って fa = |f − k·fs| の位置に現れます。
- 分解能の問題では、1 LSB = VFSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能 を満たす最小の N を求めます。
- データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。
オペアンプ回路
- 反転増幅器
- Vout = −(Rf/Rin)·Vin
- 非反転増幅器
- Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
- 加算増幅器
- Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
- 理想オペアンプ
- V+ = V−, Iin = 0
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
テブナン・ノートン
- テブナン電圧
- Vth = Vopen circuit
- テブナン抵抗
- Rth：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
- ノートン電流
- IN = Vth/Rth
- 負荷電流
- IL = Vth/(Rth + RL)
- 最大電力伝送
- RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
解き方
- 負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
- a と b の間の開放電圧を求めます：これが Vth です。
- 独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが Rth です。
- 負荷を等価回路に戻します：Vth と Rth の直列です。
- ノートン等価回路には変換します：IN = Vth/Rth、RN = Rth を並列に接続します。
2演習問題
1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう
抵抗 20 Ω の検流計が、図のブリッジの a と b の間につながれています（Vs = 6 V）。a から b へ流れる検流計電流 Ig を µA で求めなさい。
Vs = 6 VR1 = 250 ΩR2 = 100 ΩR3 = 400 ΩR4 = 300 ΩRg = 20 Ω
Ig = µA
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい
アクティブゲージ 1 枚の 1/4 ブリッジ（GF = 2）に 5 V を加えます。荷重がかかると、出力は 0.5 mV を示します。ひずみ ε を µε で求めなさい。
Vs = 5 VGF = 2Vo = 0.5 mV
ε = µε
3.データ収録とサンプリングふつう
80 kHz の正弦波を、アンチエイリアシングフィルタなしで 100 kHz でサンプリングします。サンプル中ではどの周波数 fa に現れますか。kHz で答えなさい。
f = 80 kHzfs = 100 kHz
fa = kHz
4.データ収録とサンプリングむずかしい
2.2 kHz の方形波を、アンチエイリアシングフィルタなしで 10 kHz でサンプリングします。方形波には奇数次の高調波 3f₁、5f₁、7f₁、… が含まれます。サンプリングされたデータでは、高調波 7f₁ はどの周波数 fa に現れますか。kHz で答えなさい。
f₁ = 2.2 kHzfs = 10 kHz高調波: 7f₁
fa = kHz
5.オペアンプ回路ふつう
差動増幅器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使い、R3 = R1、R4 = R2 である。 反転入力の電圧 V− を求めよ。
V1 = 2.4 VV2 = 0.7 VR1 = R3 = 10 kΩR2 = R4 = 2 kΩ
V− = V
6.オペアンプ回路むずかしい
積分器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使い、出力は ±12 V で飽和する。t = 0 に一定の入力 Vin = 1.8 V が加えられたとき、コンデンサは充電されていない。 t = 500 ms での出力電圧 Vout を求めよ。
Vin = 1.8 VR = 100 kΩC = 2.2 µFVsat = ±12 Vt = 500 ms
Vout = V
7.抵抗の直列・並列ふつう
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 15 VR1 = 6 ΩR2 = 15 ΩR3 = 15 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
8.抵抗の直列・並列むずかしい
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
V1 = 5 VR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 5 ΩR4 = 10 ΩR5 = 4 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
9.テブナン・ノートンふつう
ノートン電流 IN を求めよ：端子を短絡したとき a から b へ流れる電流。
V1 = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 6 ΩR3 = 3 Ω
IN = A
10.テブナン・ノートンむずかしい
a–b 間に負荷 RL = 30 Ω を接続する。テブナン等価回路を使って、負荷で消費される電力 PL を求めよ。
V1 = 5 VIs = 2 AR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 12 ΩRL = 30 Ω
PL = W
3溶液
1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ
答え: Ig = −3261 µA
ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 Vs を共有します。左の分圧器 R1–R2 は Va = Vs·R2/(R1 + R2) を、右の分圧器 R3–R4 は Vb = Vs·R4/(R3 + R4) を与え、出力は Vab = Va − Vb です。R1/R2 = R3/R4、すなわち R1·R4 = R2·R3 のとき、ブリッジは平衡しています（Vab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは Rth = R1∥R2 + R3∥R4 のテブナン電源です。
テブナン電圧
Vth = 6·(100/350 − 300/700) = −0.8571 V
テブナン抵抗
Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 242.9 Ω
検流計電流
Ig = −0.8571/(242.9 + 20) = −3261 µA
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ
答え: ε = 200 µε
ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき Vo ≈ Vs·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では Vs·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では Vs·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。
1/4 ブリッジの式を解く
ε = 4·0.0005/(5·2) = 0.0002
3.データ収録とサンプリング
答え: fa = 20 kHz
サンプリング：ADC は信号を毎秒 fs 回測定します。ナイキスト–シャノンの標本化定理により、周波数 f が正しく捉えられるのは f < fs/2 の間だけです。これはナイキスト（折り返し）周波数なので、サンプリング周波数は信号の最高周波数の 2 倍を超えなければなりません。それより高い周波数は失われるのではなく、fa = |f − k·fs| の位置にエイリアスとして現れます。ここで整数 k は、結果が 0 から fs/2 の間に入るように選びます。サンプルからは両者を区別できないので、ADC の前に、fs/2 より上をすべて除去するアナログのアンチエイリアシングフィルタが必要です。
ナイキスト周波数
fs/2 = 50 kHz < f = 80 kHz
エイリアス周波数
fa = |80 − 1·100| = 20 kHz
図の破線の曲線がエイリアスで、まったく同じサンプルを通る。
4.データ収録とサンプリング
答え: fa = 4.6 kHz
サンプリング：ADC は信号を毎秒 fs 回測定します。ナイキスト–シャノンの標本化定理により、周波数 f が正しく捉えられるのは f < fs/2 の間だけです。これはナイキスト（折り返し）周波数なので、サンプリング周波数は信号の最高周波数の 2 倍を超えなければなりません。それより高い周波数は失われるのではなく、fa = |f − k·fs| の位置にエイリアスとして現れます。ここで整数 k は、結果が 0 から fs/2 の間に入るように選びます。サンプルからは両者を区別できないので、ADC の前に、fs/2 より上をすべて除去するアナログのアンチエイリアシングフィルタが必要です。
高調波の周波数
7f₁ = 7·2.2 kHz = 15.4 kHz
エイリアス周波数
fa = |15.4 − 2·10| = 4.6 kHz
エイリアスは信号帯域の内側に落ち、どんなデジタルフィルタでも除去できません。ADC の前に置くアナログフィルタだけが有効です。
5.オペアンプ回路
答え: V− = 0.1167 V
理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。
入力の電圧
R₃ と R₄ には同じ電流が流れるので分圧回路をつくり、帰還により V₋ = V₊ となります。
V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 0.7·2/(10 + 2) = 0.1167 V
V₋ = V₊
6.オペアンプ回路
答え: Vout = −4.091 V
理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。
入力電流と変化率
kΩ × µF でミリ秒になります。
RC = 100 kΩ · 2.2 µF = 220 ms
変化率 = −Vin/(RC) = −1.8/220 = −0.008182 V/ms
与えられた時刻での出力
理想的な値は ±Vsat の内にあるので、積分器はまだクリップしていません。
Vout = −Vin·t/(RC) = −1.8·500/220 = −4.091 V
7.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.9756 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 15 + 10 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 15·25/(15+25) = 9.375 Ω
Req = R1 + 9.375 = 6 + 9.375 = 15.38 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 15/15.38 = 0.9756 A
8.抵抗の直列・並列
答え: IR2 = 0.2428 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 4 + 8 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 5.455 Ω
R3 + 5.455 = 10.45 Ω
R2 ∥ 10.45 = 5.587 Ω
Req = R1 + 5.587 = 4 + 5.587 = 9.587 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 5/9.587 = 0.5215 A
R₂ を流れる電流
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0.5215·4 = 2.914 V
IR2 = VA/R2 = 2.914/12 = 0.2428 A
9.テブナン・ノートン
答え: IN = 0.2727 A
テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。
すべての電源を止めて Rth を求める
電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。
R1 ∥ R2 = 20·6/(20+6) = 4.615 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.615 + 3 = 7.615 Ω
開放電圧 Vth を求める
a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·6/(20+6) = 2.077 V
ノートン等価回路
ノートン電源は、同じ回路を R_th と並列な電流源として見たものです。その電流は a–b の短絡電流です。
IN = Vth/Rth = 2.077/7.615 = 0.2727 A
10.テブナン・ノートン
答え: PL = 14.44 W
テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。
すべての電源を止めて Rth を求める
電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。
R1 ∥ R2 = 6·4/(6+4) = 2.4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.4 + 12 = 14.4 Ω
開放電圧 Vth を求める
a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2 + 2·2.4 = 6.8 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 6.8 + 2·12 = 30.8 V
負荷をテブナン等価回路につなぐ
テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。
IL = Vth/(Rth + RL) = 30.8/(14.4 + 30) = 0.6937 A
PL = IL²·RL = 0.6937²·30 = 14.44 W