計測と計装：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

分圧器の電圧: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
排泄量: V_ab = V_a − V_b
出納: R₁/R₂ = R₃/R₄
スライドワイヤブリッジ: R/R_x = l/(100 − l)
テブナン抵抗: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
ゲージ率: ΔR/R = GF·ε
ブリッジの出力: 1/4 ブリッジ V_s·GF·ε/4、1/2 ブリッジ V_s·GF·ε/2、フルブリッジ V_s·GF·ε
微小変化、1 辺のみ: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
応力: σ = E·ε

解き方

ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
不平衡ブリッジでは、分圧器から V_a と V_b を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて V_s·GF·ε/4、/2、×1 を使います。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
エイリアス周波数: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
ステップ幅: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）: ±½ LSB
切り捨て ADC のコード: D = ⌊V_in/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート: チャネル数 × f_s × N bit/s
マルチプレクス ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比: baud = f_clk/(16·D)

解き方

まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
サンプリングの問題では、各周波数を f_s/2 と比べます。それより高い周波数は、f_s の最も近い整数倍を使って f_a = |f − k·f_s| の位置に現れます。
分解能の問題では、1 LSB = V_FSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能を満たす最小の N を求めます。
データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

オペアンプ回路

反転増幅器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
非反転増幅器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加算増幅器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想オペアンプ: V₊ = V₋, I_in = 0

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう

4 つの辺がすべて 300 Ω のブリッジで、V_s = 6 V です。センサ R₂ が ΔR = 0.75 Ω だけ増加します。微小変化の近似を使って、出力 V_ab を mV で求めなさい。

V_s = 6 VR = 300 ΩΔR = 0.75 Ω

V_ab = mV

2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい

ゲージ率 2.12 の 350 Ω のひずみゲージを鋼棒に接着します。荷重がかかると抵抗が 0.371 Ω 増加します。ひずみ ε をマイクロストレイン (µε) で求めなさい。

R = 350 ΩGF = 2.12ΔR = 0.371 Ω

ε = µε

3.データ収録とサンプリングふつう

入力範囲が 0〜3.3 V の ADC が、2 mV 以下のステップを分解しなければなりません。最小のビット数 N を求めなさい。

V_FSR = 3.3 V分解能 = 2 mV

N =

4.データ収録とサンプリングむずかしい

6 チャネルのマルチプレクサが 1 つの ADC に接続されています。1 回の変換に 4 µs かかり、チャネルを切り替えるたびに入力の整定に 1 µs かかります。チャネルは休みなく順に走査されます。各チャネルのサンプリング周波数 f_s を kHz で求めなさい。

n = 6t_c = 4 µst_set = 1 µs

f_s = kHz

5.オペアンプ回路ふつう

この非反転増幅器の電圧利得を 20 にする帰還抵抗 R_f を選べ。

R₁ = 22 kΩA_v = 20

R_f = kΩ

6.オペアンプ回路むずかしい

2 つの理想オペアンプ段が縦続接続されている：反転増幅器（R₁、R_f1）の後に非反転増幅器（接地側に R₂、帰還側に R_f2）が続く。どちらも ±15 V 電源で動作する。入力は V_in = 0.55 V である。出力電圧 V_out を求めよ。

R₁ = 2 kΩR_f1 = 10 kΩR₂ = 100 kΩR_f2 = 10 kΩV_in = 0.55 V

V_out = V

7.抵抗の直列・並列ふつう

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

8.抵抗の直列・並列むずかしい

電源 V₁ から見た合成抵抗 R_eq を求めよ。

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 25 Ω

R_eq = Ω

9.テブナン・ノートンふつう

a–b 間に負荷 R_L = 3 Ω を接続する。回路の残りをテブナン等価回路に置き換え、負荷電流 I_L を求めよ。

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR_L = 3 Ω

I_L = A

10.テブナン・ノートンむずかしい

ノートン電流 I_N を求めよ：端子を短絡したとき a から b へ流れる電流。

V₁ = 15 VI_s = 1.5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 Ω

I_N = A

3溶液

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: V_ab = 3.75 mV

ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 V_s を共有します。左の分圧器 R₁–R₂ は V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) を、右の分圧器 R₃–R₄ は V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄) を与え、出力は V_ab = V_a − V_b です。R₁/R₂ = R₃/R₄、すなわち R₁·R₄ = R₂·R₃ のとき、ブリッジは平衡しています（V_ab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ のテブナン電源です。

相対変化

ΔR/R = 0.75/300 = 0.0025

線形化した出力

V_ab ≈ 6·0.0025/4 = 3.75 mV

答え

V_ab = 3.75 mV

厳密な値は 3.745 mV です。ΔR/R が小さいうちは、近似はよく合います。

2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: ε = 500 µε

ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき V_o ≈ V_s·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では V_s·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では V_s·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。

抵抗の相対変化

ΔR/R = 0.371/350 = 0.00106

ひずみ

ε = 0.00106/2.12 = 0.0005 = 500 µε

答え

ε = 500 µε

3.データ収録とサンプリング

答え: N = 11

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 V_FSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = V_FSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊V_in/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

必要なステップ数

3300 mV/2 mV = 1650

ビット数

log₂(1650) = 10.69

2¹⁰ = 1024 < 1650 ≤ 2¹¹ = 2048

N = 11

答え

N = 11

4.データ収録とサンプリング

答え: f_s = 33.33 kHz

データレート：各チャネルは毎秒 f_s 個の N ビットのサンプルを出力するので、生のレートはチャネル数 × f_s × N bit/s です。メモリ上では 1 サンプルが整数バイトを占める（12 ビットのサンプルは 2 バイトで保存される）ので、記録に必要なメモリはチャネル数 × f_s × 1 サンプルのバイト数 × 時間です。マルチプレクス ADC はチャネルを 1 つずつ順に変換します：1 回の変換（整定時間を含む）に t かかるので、n チャネルの 1 巡に n·t かかり、各チャネルは 1/(n·t) でサンプリングされます。

1 チャネルあたりの時間

4 + 1 = 5 µs

1 回の走査の時間

6·5 = 30 µs

1 チャネルあたりのサンプリング周波数

f_s = 1/30 µs = 33.33 kHz

答え

f_s = 33.33 kHz

5.オペアンプ回路

答え: R_f = 418 kΩ

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

非反転増幅器の利得

V₋ = V₊ = V_in で、R₁ の電流は R_f も流れるので V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (20 − 1)·22 = 418 kΩ

答え

R_f = 418 kΩ

6.オペアンプ回路

答え: V_out = −3.025 V

各段の利得

A₁ = −R_f1/R₁ = −10/2 = −5

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 10/100 = 1.1

段ごとに

V₁ = −5·0.55 = −2.75 V

V_out = 1.1·(−2.75) = −3.025 V

答え

V_out = −3.025 V

7.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 1.969 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 2 + 15 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 20·17/(20+17) = 9.189 Ω

R_eq = R₁ + 9.189 = 3 + 9.189 = 12.19 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/12.19 = 1.969 A

答え

I_R1 = 1.969 A

8.抵抗の直列・並列

答え: R_eq = 23.98 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 25 + 25 = 50 Ω

R₄ ∥ 50 = 4.545 Ω

R₃ + 4.545 = 19.55 Ω

R₂ ∥ 19.55 = 3.981 Ω

R_eq = R₁ + 3.981 = 20 + 3.981 = 23.98 Ω

答え

R_eq = 23.98 Ω

9.テブナン・ノートン

答え: I_L = 0.7143 A

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 6·2/(6+2) = 1.5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.5 + 6 = 7.5 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·2/(6+2) = 7.5 V

負荷をテブナン等価回路につなぐ

テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 7.5/(7.5 + 3) = 0.7143 A

10.テブナン・ノートン

答え: I_N = 1.742 A

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 12·3/(12+3) = 2.4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.4 + 10 = 12.4 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3 + 1.5·2.4 = 6.6 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 6.6 + 1.5·10 = 21.6 V

ノートン等価回路

ノートン電源は、同じ回路を R_th と並列な電流源として見たものです。その電流は a–b の短絡電流です。

I_N = V_th/R_th = 21.6/12.4 = 1.742 A

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計測と計装：直前対策パック

1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

解き方

データ収録とサンプリング

解き方

オペアンプ回路

抵抗の直列・並列

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

相対変化

線形化した出力

答え

抵抗の相対変化

ひずみ

答え

必要なステップ数

ビット数

答え

1 チャネルあたりの時間

1 回の走査の時間

1 チャネルあたりのサンプリング周波数

答え

非反転増幅器の利得

答え

各段の利得

段ごとに

答え

遠い端から抵抗をまとめる

電源からの電流

答え

遠い端から抵抗をまとめる

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

負荷をテブナン等価回路につなぐ

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

ノートン等価回路

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める