計測と計装：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

分圧器の電圧: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
排泄量: V_ab = V_a − V_b
出納: R₁/R₂ = R₃/R₄
スライドワイヤブリッジ: R/R_x = l/(100 − l)
テブナン抵抗: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
ゲージ率: ΔR/R = GF·ε
ブリッジの出力: 1/4 ブリッジ V_s·GF·ε/4、1/2 ブリッジ V_s·GF·ε/2、フルブリッジ V_s·GF·ε
微小変化、1 辺のみ: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
応力: σ = E·ε

解き方

ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
不平衡ブリッジでは、分圧器から V_a と V_b を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて V_s·GF·ε/4、/2、×1 を使います。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
エイリアス周波数: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
ステップ幅: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）: ±½ LSB
切り捨て ADC のコード: D = ⌊V_in/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート: チャネル数 × f_s × N bit/s
マルチプレクス ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比: baud = f_clk/(16·D)

解き方

まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
サンプリングの問題では、各周波数を f_s/2 と比べます。それより高い周波数は、f_s の最も近い整数倍を使って f_a = |f − k·f_s| の位置に現れます。
分解能の問題では、1 LSB = V_FSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能を満たす最小の N を求めます。
データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

オペアンプ回路

反転増幅器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
非反転増幅器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加算増幅器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想オペアンプ: V₊ = V₋, I_in = 0

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう

4 つの辺がすべて 500 Ω のブリッジで、V_s = 10 V です。センサ R₂ が ΔR = 2 Ω だけ増加します。微小変化の近似を使って、出力 V_ab を mV で求めなさい。

V_s = 10 VR = 500 ΩΔR = 2 Ω

V_ab = mV

2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい

アクティブゲージ 1 枚の 1/4 ブリッジ（GF = 2.05）に 10 V を加えます。荷重がかかると、出力は 2.05 mV を示します。ひずみ ε を µε で求めなさい。

V_s = 10 VGF = 2.05V_o = 2.05 mV

ε = µε

3.データ収録とサンプリングふつう

2.6 kHz の正弦波を、アンチエイリアシングフィルタなしで 2 kHz でサンプリングします。サンプル中ではどの周波数 f_a に現れますか。Hz で答えなさい。

f = 2.6 kHzf_s = 2 kHz

f_a = Hz

4.データ収録とサンプリングむずかしい

16 ビット ADC がすべてのサンプルを UART で 230400 baud、8N1 形式（スタートビット、データ 8 ビット、ストップビット 1 個）で送ります。各サンプルは 2 バイトの整数バイトで送られ、通信路は常にふさがっています。エイリアシングなしにサンプリングできる最高の信号周波数 f_max を Hz で求めなさい。

baud = 230400 BdN = 168N1

f_max = Hz

5.オペアンプ回路ふつう

オペアンプは理想的で、±15 V 電源で動作する。出力は ±13 V で飽和する。非反転増幅器を正弦波で駆動する。出力がクリップしない最大の入力振幅 V_in,max（最大値）を求めよ。

R₁ = 1 kΩR_f = 10 kΩV_sat = ±13 V

V_in,max = V

6.オペアンプ回路むずかしい

積分器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使い、出力は ±14 V で飽和する。t = 0 に一定の入力 V_in = −1 V が加えられたとき、コンデンサは充電されていない。 t = 20 ms での出力電圧 V_out を求めよ。

V_in = −1 VR = 22 kΩC = 0.22 µFV_sat = ±14 Vt = 20 ms

V_out = V

7.抵抗の直列・並列ふつう

電源 V₁ から見た合成抵抗 R_eq を求めよ。

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 Ω

R_eq = Ω

8.抵抗の直列・並列むずかしい

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 12 VR₁ = 30 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

9.テブナン・ノートンふつう

端子 a–b から見たテブナン抵抗 R_th を求めよ。

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 Ω

R_th = Ω

10.テブナン・ノートンむずかしい

端子 a–b から見たテブナン電圧 V_th を求めよ。

V₁ = 15 VI_s = 6 AR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 Ω

V_th = V

3溶液

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: V_ab = 10 mV

ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 V_s を共有します。左の分圧器 R₁–R₂ は V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) を、右の分圧器 R₃–R₄ は V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄) を与え、出力は V_ab = V_a − V_b です。R₁/R₂ = R₃/R₄、すなわち R₁·R₄ = R₂·R₃ のとき、ブリッジは平衡しています（V_ab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ のテブナン電源です。

相対変化

ΔR/R = 2/500 = 0.004

線形化した出力

V_ab ≈ 10·0.004/4 = 10 mV

答え

V_ab = 10 mV

厳密な値は 9.98 mV です。ΔR/R が小さいうちは、近似はよく合います。

2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: ε = 400 µε

ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき V_o ≈ V_s·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では V_s·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では V_s·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。

1/4 ブリッジの式を解く

ε = 4·0.00205/(10·2.05) = 0.0004

マイクロストレインで

ε = 400 µε

答え

ε = 400 µε

3.データ収録とサンプリング

答え: f_a = 600 Hz

サンプリング：ADC は信号を毎秒 f_s 回測定します。ナイキスト–シャノンの標本化定理により、周波数 f が正しく捉えられるのは f < f_s/2 の間だけです。これはナイキスト（折り返し）周波数なので、サンプリング周波数は信号の最高周波数の 2 倍を超えなければなりません。それより高い周波数は失われるのではなく、f_a = |f − k·f_s| の位置にエイリアスとして現れます。ここで整数 k は、結果が 0 から f_s/2 の間に入るように選びます。サンプルからは両者を区別できないので、ADC の前に、f_s/2 より上をすべて除去するアナログのアンチエイリアシングフィルタが必要です。

ナイキスト周波数

f_s/2 = 1 kHz < f = 2.6 kHz

サンプリング周波数の最も近い整数倍

k = round(2600/2000) = 1

エイリアス周波数

f_a = |2600 − 1·2000| = 600 Hz

答え

f_a = 600 Hz

図の破線の曲線がエイリアスで、まったく同じサンプルを通る。

4.データ収録とサンプリング

答え: f_max = 5760 Hz

UART：調歩同期式のシリアル通信は、各バイトをフレームとして送ります：スタートビット（Low）1 つ、データビット、任意のパリティビット、ストップビット（High）1 つまたは 2 つ。ボーレートは毎秒のビット数なので、1 ビットの長さは T_b = 1/ボーレート、n ビットのフレームの長さは n/ボーレートです。よく使われる 8N1 形式は 1 バイトが 10 ビットです。ボーレート発生器はクロックを分周します：ボーレート = f_clk/(16·D)、D は整数なので、実際のボーレートは目標値とわずかに異なります。誤差がおよそ 2 % 未満なら、たいてい許容されます。

回線上の 1 サンプルあたりのビット数

2·10 = 20 bit

最高サンプリング周波数

f_s,max = 230400/20 = 11520 Hz

ナイキストの限界

f_max = 11520/2 = 5760 Hz

答え

f_max = 5760 Hz

5.オペアンプ回路

答え: V_in,max = 1.182 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

利得

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 10/1 = 11

クリップ前の最大入力

V_in,max = V_sat/|A_v| = 13/11 = 1.182 V

答え

V_in,max = 1.182 V

6.オペアンプ回路

答え: V_out = 4.132 V

入力電流と変化率

kΩ × µF でミリ秒になります。

RC = 22 kΩ · 0.22 µF = 4.84 ms

変化率 = −V_in/(RC) = −(−1)/4.84 = 0.2066 V/ms

与えられた時刻での出力

理想的な値は ±V_sat の内にあるので、積分器はまだクリップしていません。

V_out = −V_in·t/(RC) = −(−1)·20/4.84 = 4.132 V

答え

V_out = 4.132 V

7.抵抗の直列・並列

答え: R_eq = 11.22 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 12 + 3 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 8·15/(8+15) = 5.217 Ω

R_eq = R₁ + 5.217 = 6 + 5.217 = 11.22 Ω

答え

R_eq = 11.22 Ω

8.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 0.3617 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 3 + 20 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 2.654 Ω

R₃ + 2.654 = 4.654 Ω

R₂ ∥ 4.654 = 3.176 Ω

R_eq = R₁ + 3.176 = 30 + 3.176 = 33.18 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/33.18 = 0.3617 A

答え

I_R1 = 0.3617 A

9.テブナン・ノートン

答え: R_th = 9.818 Ω

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 20·2/(20+2) = 1.818 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.818 + 8 = 9.818 Ω

10.テブナン・ノートン

答え: V_th = 151.8 V

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.529 + 20 = 23.53 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 10.59 + 6·3.529 = 31.76 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 31.76 + 6·20 = 151.8 V

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1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

解き方

データ収録とサンプリング

解き方

オペアンプ回路

抵抗の直列・並列

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

相対変化

線形化した出力

答え

1/4 ブリッジの式を解く

マイクロストレインで

答え

ナイキスト周波数

サンプリング周波数の最も近い整数倍

エイリアス周波数

答え

回線上の 1 サンプルあたりのビット数

最高サンプリング周波数

ナイキストの限界

答え

利得

クリップ前の最大入力

答え

入力電流と変化率

与えられた時刻での出力

答え

遠い端から抵抗をまとめる

答え

遠い端から抵抗をまとめる

電源からの電流

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める