計測と計装：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

分圧器の電圧
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
排泄量
Vab = Va − Vb
出納
R1/R2 = R3/R4
スライドワイヤブリッジ
R/Rx = l/(100 − l)
テブナン抵抗
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
ゲージ率
ΔR/R = GF·ε
ブリッジの出力
1/4 ブリッジ Vs·GF·ε/4、1/2 ブリッジ Vs·GF·ε/2、フルブリッジ Vs·GF·ε
微小変化、1 辺のみ
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
応力
σ = E·ε

解き方

  1. ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
  2. 平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
  3. 不平衡ブリッジでは、分圧器から Va と Vb を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
  4. ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて Vs·GF·ε/4、/2、×1 を使います。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件
fs > 2·fmax, fN = fs/2
エイリアス周波数
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
ステップ幅
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）
±½ LSB
切り捨て ADC のコード
D = ⌊Vin/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート
チャネル数 × fs × N bit/s
マルチプレクス ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比
baud = fclk/(16·D)

解き方

  1. まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
  2. サンプリングの問題では、各周波数を fs/2 と比べます。それより高い周波数は、fs の最も近い整数倍を使って fa = |f − k·fs| の位置に現れます。
  3. 分解能の問題では、1 LSB = VFSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能 を満たす最小の N を求めます。
  4. データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

オペアンプ回路

反転増幅器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
非反転増幅器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加算増幅器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想オペアンプ
V+ = V−, Iin = 0

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

テブナン・ノートン

テブナン電圧
Vth = Vopen circuit
テブナン抵抗
Rth：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流
IN = Vth/Rth
負荷電流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大電力伝送
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

解き方

  1. 負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
  2. a と b の間の開放電圧を求めます：これが Vth です。
  3. 独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが Rth です。
  4. 負荷を等価回路に戻します：Vth と Rth の直列です。
  5. ノートン等価回路には変換します：IN = Vth/Rth、RN = Rth を並列に接続します。

2演習問題

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう
+−10 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−24.88 mV

4 つの辺がすべて 1000 Ω のブリッジに 10 V を供給します。センサ R₂ が変化すると、出力は Vab = 24.88 mV を示します。R₂ の厳密な変化量 ΔR を求めなさい。

Vs = 10 VR = 1000 ΩVab = 24.88 mV
ΔR = Ω
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい
+−10 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−1.025 mV

E = 70 GPa の部材に貼ったひずみゲージ（GF = 2.05）が、10 V で励起される 1/4 ブリッジを構成しています。出力は 1.025 mV を示します。軸方向応力 σ を MPa で求めなさい。

Vs = 10 VGF = 2.05Vo = 1.025 mVE = 70 GPa
σ = MPa
3.データ収録とサンプリングふつう
Vin​N = ?1000 kPa2ᴺ − 10≤ 1 kPa

センサが 圧力 を 1000 kPa の範囲で測定し、その出力が ADC の入力範囲全体を満たします。読み取りは 1 kPa を分解できなければなりません。ADC に必要な最小のビット数 N を求めなさい。

範囲 = 1000 kPa分解能 = 1 kPa
N =
4.データ収録とサンプリングむずかしい
Vin​N = ?VFSR​2ᴺ − 101 LSB

オーディオの測定で、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比が少なくとも 55 dB 必要です。ADC の最小ビット数 N を求めなさい。

SQNR ≥ 55 dB
N =
5.オペアンプ回路ふつう
−+Vout​Rf​ = 100 kΩR1​ = 4.7 kΩVin​

オペアンプは理想的で、±15 V 電源で動作する。出力は ±13 V で飽和する。 非反転増幅器を正弦波で駆動する。出力がクリップしない最大の入力振幅 Vin,max（最大値）を求めよ。

R1 = 4.7 kΩRf = 100 kΩVsat = ±13 V
Vin,max = V
6.オペアンプ回路むずかしい
Vin​V1​Vout​第 1 段：反転R1​ = 10 kΩRf1​ = 10 kΩ第 2 段：非反転R2​ = 10 kΩRf2​ = 1 kΩ

2 つの理想オペアンプ段が縦続接続されている：反転増幅器（R1、Rf1）の後に非反転増幅器（接地側に R2、帰還側に Rf2）が続く。どちらも ±15 V 電源で動作する。 入力は Vin = −0.85 V である。出力電圧 Vout を求めよ。

R1 = 10 kΩRf1 = 10 kΩR2 = 10 kΩRf2 = 1 kΩVin = −0.85 V
Vout = V
7.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 10 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩAR4​8 ΩB

電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。

V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 ΩR4 = 8 Ω
Req = Ω
8.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 5 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​36 VR2​15 ΩIR2​AR4​30 ΩBR6​15 Ω

R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。

V1 = 36 VR1 = 5 ΩR2 = 15 ΩR3 = 12 ΩR4 = 30 ΩR5 = 25 ΩR6 = 15 Ω
IR2 = A
9.テブナン・ノートンふつう
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​10 ΩAab

ノートン電流 IN を求めよ：端子を短絡したとき a から b へ流れる電流。

V1 = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 10 ΩR3 = 10 Ω
IN = A
10.テブナン・ノートンむずかしい
R1​ = 3 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAIs​6 ABRL​10 ΩIL​

a–b 間に負荷 RL = 10 Ω を接続する。回路の残りをテブナン等価回路に置き換え、負荷電流 IL を求めよ。

V1 = 15 VIs = 6 AR1 = 3 ΩR2 = 12 ΩR3 = 25 ΩRL = 10 Ω
IL = A

3溶液

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: ΔR = 10 Ω

ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 Vs を共有します。左の分圧器 R1–R2 は Va = Vs·R2/(R1 + R2) を、右の分圧器 R3–R4 は Vb = Vs·R4/(R3 + R4) を与え、出力は Vab = Va − Vb です。R1/R2 = R3/R4、すなわち R1·R4 = R2·R3 のとき、ブリッジは平衡しています（Vab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは Rth = R1∥R2 + R3∥R4 のテブナン電源です。

節点電圧

Va = 5 + 0.02488 = 5.025 V

分圧器を解く

R₂ = 1000·5.025/(10 − 5.025) = 1010 Ω
ΔR = 1010 − 1000 = 10 Ω

答え

ΔR = 10 Ω
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: σ = 14 MPa

ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき Vo ≈ Vs·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では Vs·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では Vs·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。

ひずみ

ε = 4·0.001025/(10·2.05) = 0.0002

応力

σ = 70·10³ MPa·0.0002 = 14 MPa

答え

σ = 14 MPa
3.データ収録とサンプリング

答え: N = 10

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

必要なステップ数

1000/1 = 1000

ビット数

log₂(1000) = 9.966
29 = 512 < 1000 ≤ 210 = 1024
N = 10

答え

N = 10
4.データ収録とサンプリング

答え: N = 9

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

N について解く

N ≥ (55 − 1.76)/6.02 = 8.844

切り上げる

N = 9
確認: 6.02·9 + 1.76 = 55.94 dB ≥ 55 dB

答え

N = 9
5.オペアンプ回路

答え: Vin,max = 0.5836 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

利得

Av = 1 + Rf/R1 = 1 + 100/4.7 = 22.28

クリップ前の最大入力

Vin,max = Vsat/|Av| = 13/22.28 = 0.5836 V

答え

Vin,max = 0.5836 V
6.オペアンプ回路

答え: Vout = 0.935 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

各段の利得

A1 = −Rf1/R1 = −10/10 = −1
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 1/10 = 1.1

段ごとに

V1 = −1·(−0.85) = 0.85 V
Vout = 1.1·0.85 = 0.935 V

答え

Vout = 0.935 V
7.抵抗の直列・並列

答え: Req = 16.67 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 10 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩAR4​8 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 2 + 8 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 20·10/(20+10) = 6.667 Ω
Req = R1 + 6.667 = 10 + 6.667 = 16.67 Ω

答え

Req = 16.67 Ω
8.抵抗の直列・並列

答え: IR2 = 1.595 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 5 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​36 VR2​15 ΩAR4​30 ΩBR6​15 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 25 + 15 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 17.14 Ω
R3 + 17.14 = 29.14 Ω
R2 ∥ 29.14 = 9.903 Ω
Req = R1 + 9.903 = 5 + 9.903 = 14.9 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 36/14.9 = 2.416 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 2.416·5 = 23.92 V
IR2 = VA/R2 = 23.92/15 = 1.595 A

答え

IR2 = 1.595 A
9.テブナン・ノートン

答え: IN = 0.4 A

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω短絡R2​10 ΩAabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 10·10/(10+10) = 5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5 + 10 = 15 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​10 ΩAab+−Vth​

開放電圧 Vth を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·10/(10+10) = 6 V
IN​0.4 ARth​15 Ωab

ノートン等価回路

ノートン電源は、同じ回路を R_th と並列な電流源として見たものです。その電流は a–b の短絡電流です。

IN = Vth/Rth = 6/15 = 0.4 A
10.テブナン・ノートン

答え: IL = 4.717 A

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 3 ΩR3​ = 25 Ω短絡R2​12 ΩA開放BabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 3·12/(3+12) = 2.4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.4 + 25 = 27.4 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 25 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

開放電圧 Vth を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 12 + 6·2.4 = 26.4 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 26.4 + 6·25 = 176.4 V
Rth​ = 27.4 Ω+−Vth​176.4 VRL​10 ΩIL​

負荷をテブナン等価回路につなぐ

テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。

IL = Vth/(Rth + RL) = 176.4/(27.4 + 10) = 4.717 A

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