1公式と解法
ホイートストンブリッジとひずみゲージ
- 分圧器の電圧
- Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
- 排泄量
- Vab = Va − Vb
- 出納
- R1/R2 = R3/R4
- スライドワイヤブリッジ
- R/Rx = l/(100 − l)
- テブナン抵抗
- Rth = R1∥R2 + R3∥R4
- ゲージ率
- ΔR/R = GF·ε
- ブリッジの出力
- 1/4 ブリッジ Vs·GF·ε/4、1/2 ブリッジ Vs·GF·ε/2、フルブリッジ Vs·GF·ε
- 微小変化、1 辺のみ
- Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
- 応力
- σ = E·ε
解き方
- ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
- 平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
- 不平衡ブリッジでは、分圧器から Va と Vb を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
- ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて Vs·GF·ε/4、/2、×1 を使います。
データ収録とサンプリング
- ナイキスト条件
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- エイリアス周波数
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- ステップ幅
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- 量子化誤差（四捨五入）
- ±½ LSB
- 切り捨て ADC のコード
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- 分解能 r に必要なビット数
- 2ᴺ ≥ span/r
- 理想 SQNR（フルスケールの正弦波）
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- データレート
- チャネル数 × fs × N bit/s
- マルチプレクス ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
- ボーレート分周比
- baud = fclk/(16·D)
解き方
- まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
- サンプリングの問題では、各周波数を fs/2 と比べます。それより高い周波数は、fs の最も近い整数倍を使って fa = |f − k·fs| の位置に現れます。
- 分解能の問題では、1 LSB = VFSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能 を満たす最小の N を求めます。
- データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。
オペアンプ回路
- 反転増幅器
- Vout = −(Rf/Rin)·Vin
- 非反転増幅器
- Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
- 加算増幅器
- Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
- 理想オペアンプ
- V+ = V−, Iin = 0
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
テブナン・ノートン
- テブナン電圧
- Vth = Vopen circuit
- テブナン抵抗
- Rth：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
- ノートン電流
- IN = Vth/Rth
- 負荷電流
- IL = Vth/(Rth + RL)
- 最大電力伝送
- RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
解き方
- 負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
- a と b の間の開放電圧を求めます：これが Vth です。
- 独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが Rth です。
- 負荷を等価回路に戻します：Vth と Rth の直列です。
- ノートン等価回路には変換します：IN = Vth/Rth、RN = Rth を並列に接続します。
2演習問題
1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう
1000 Ω のひずみゲージが、4 つの辺がすべて 1000 Ω で励起電圧 2 V のブリッジの 1 辺（R₂）になっています。ゲージで消費される電力 Pg を mW で求めなさい。自己発熱が励起電圧を制限します。
Vs = 2 VR = 1000 Ω
Pg = mW
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい
E = 70 GPa の部材に貼ったひずみゲージ（GF = 2.05）が、3 V で励起される 1/4 ブリッジを構成しています。出力は 0.615 mV を示します。軸方向応力 σ を MPa で求めなさい。
Vs = 3 VGF = 2.05Vo = 0.615 mVE = 70 GPa
σ = MPa
3.データ収録とサンプリングふつう
レコーダが 2 チャネルを各 25 kHz、10 ビット ADC でサンプリングします。各サンプルは整数バイトで保存されます。1 分間の記録に必要なメモリ M を MB（1 MB = 10⁶ バイト）で求めなさい。
n = 2fs = 25 kHzN = 10t = 1 min
M = MB
4.データ収録とサンプリングむずかしい
温度センサが 10 mV/°C（0 °C で 0 V）を出力します。その信号を 2 倍に増幅し、入力範囲 0〜3.3 V の 12 ビット ADC に入力します（1 LSB = VFSR/2ᴺ）。1 LSB に対応する温度変化 ΔTLSB を求めなさい。
S = 10 mV/°CG = 2N = 12VFSR = 3.3 V
ΔTLSB = °C
5.オペアンプ回路ふつう
オペアンプは理想的で、±15 V 電源で動作する。 出力電圧 Vout を求めよ。
Vin = 4 VRa = 4.7 kΩRb = 10 kΩR1 = 2 kΩRf = 4.7 kΩ
Vout = V
6.オペアンプ回路むずかしい
積分器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使い、出力は ±12 V で飽和する。t = 0 に一定の入力 Vin = −1.2 V が加えられたとき、コンデンサは充電されていない。 t = 1 ms での出力電圧 Vout を求めよ。
Vin = −1.2 VR = 2.2 kΩC = 0.47 µFVsat = ±12 Vt = 1 ms
Vout = V
7.抵抗の直列・並列ふつう
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
V1 = 18 VR1 = 15 ΩR2 = 8 ΩR3 = 6 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
8.抵抗の直列・並列むずかしい
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 24 VR1 = 6 ΩR2 = 5 ΩR3 = 5 ΩR4 = 3 ΩR5 = 20 ΩR6 = 30 Ω
Req = Ω
9.テブナン・ノートンふつう
a–b 間に負荷 RL = 6 Ω を接続する。回路の残りをテブナン等価回路に置き換え、負荷電流 IL を求めよ。
V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 ΩRL = 6 Ω
IL = A
10.テブナン・ノートンむずかしい
ノートン電流 IN を求めよ：端子を短絡したとき a から b へ流れる電流。
V1 = 9 VIs = 2 AR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 15 Ω
IN = A
3溶液
1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ
答え: Pg = 1 mW
ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 Vs を共有します。左の分圧器 R1–R2 は Va = Vs·R2/(R1 + R2) を、右の分圧器 R3–R4 は Vb = Vs·R4/(R3 + R4) を与え、出力は Vab = Va − Vb です。R1/R2 = R3/R4、すなわち R1·R4 = R2·R3 のとき、ブリッジは平衡しています（Vab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは Rth = R1∥R2 + R3∥R4 のテブナン電源です。
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ
答え: σ = 28 MPa
ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき Vo ≈ Vs·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では Vs·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では Vs·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。
ひずみ
ε = 4·0.000615/(3·2.05) = 0.0004
応力
σ = 70·10³ MPa·0.0004 = 28 MPa
3.データ収録とサンプリング
答え: M = 6 MB
データレート：各チャネルは毎秒 fs 個の N ビットのサンプルを出力するので、生のレートは チャネル数 × fs × N bit/s です。メモリ上では 1 サンプルが整数バイトを占める（12 ビットのサンプルは 2 バイトで保存される）ので、記録に必要なメモリは チャネル数 × fs × 1 サンプルのバイト数 × 時間 です。マルチプレクス ADC はチャネルを 1 つずつ順に変換します：1 回の変換（整定時間を含む）に t かかるので、n チャネルの 1 巡に n·t かかり、各チャネルは 1/(n·t) でサンプリングされます。
メモリ
M = 100000·60 = 6 × 10⁶ B = 6 MB
4.データ収録とサンプリング
答え: ΔTLSB = 0.04028 °C
ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。
ステップ幅
1 LSB = 3300/4096 = 0.8057 mV
温度分解能
ΔTLSB = 0.8057/20 = 0.04028 °C
ADC は 165 °C でフルスケールに達します。
5.オペアンプ回路
答え: Vout = 9.116 V
理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。
+ 入力の電圧
V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = 4·10/(4.7 + 10) = 2.721 V
非反転増幅の利得
V₋ = V₊ で、R₁ を流れる電流は Rf も流れます。
Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = 2.721·(1 + 4.7/2) = 9.116 V
6.オペアンプ回路
答え: Vout = 1.161 V
理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。
入力電流と変化率
kΩ × µF でミリ秒になります。
RC = 2.2 kΩ · 0.47 µF = 1.034 ms
変化率 = −Vin/(RC) = −(−1.2)/1.034 = 1.161 V/ms
与えられた時刻での出力
理想的な値は ±Vsat の内にあるので、積分器はまだクリップしていません。
Vout = −Vin·t/(RC) = −(−1.2)·1/1.034 = 1.161 V
7.抵抗の直列・並列
答え: IR2 = 0.5143 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 6 + 4 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 8·10/(8+10) = 4.444 Ω
Req = R1 + 4.444 = 15 + 4.444 = 19.44 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 18/19.44 = 0.9257 A
R₂ を流れる電流
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 0.9257·15 = 4.114 V
IR2 = VA/R2 = 4.114/8 = 0.5143 A
8.抵抗の直列・並列
答え: Req = 9.051 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 20 + 30 = 50 Ω
R4 ∥ 50 = 2.83 Ω
R3 + 2.83 = 7.83 Ω
R2 ∥ 7.83 = 3.051 Ω
Req = R1 + 3.051 = 6 + 3.051 = 9.051 Ω
9.テブナン・ノートン
答え: IL = 0.3947 A
テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。
すべての電源を止めて Rth を求める
電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。
R1 ∥ R2 = 4·10/(4+10) = 2.857 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.857 + 2 = 4.857 Ω
開放電圧 Vth を求める
a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·10/(4+10) = 4.286 V
負荷をテブナン等価回路につなぐ
テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。
IL = Vth/(Rth + RL) = 4.286/(4.857 + 6) = 0.3947 A
10.テブナン・ノートン
答え: IN = 2.486 A
テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。
すべての電源を止めて Rth を求める
電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。
R1 ∥ R2 = 2·20/(2+20) = 1.818 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.818 + 15 = 16.82 Ω
開放電圧 Vth を求める
a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8.182 + 2·1.818 = 11.82 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 11.82 + 2·15 = 41.82 V
ノートン等価回路
ノートン電源は、同じ回路を R_th と並列な電流源として見たものです。その電流は a–b の短絡電流です。
IN = Vth/Rth = 41.82/16.82 = 2.486 A