計測と計装：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

分圧器の電圧
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
排泄量
Vab = Va − Vb
出納
R1/R2 = R3/R4
スライドワイヤブリッジ
R/Rx = l/(100 − l)
テブナン抵抗
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
ゲージ率
ΔR/R = GF·ε
ブリッジの出力
1/4 ブリッジ Vs·GF·ε/4、1/2 ブリッジ Vs·GF·ε/2、フルブリッジ Vs·GF·ε
微小変化、1 辺のみ
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
応力
σ = E·ε

解き方

  1. ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
  2. 平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
  3. 不平衡ブリッジでは、分圧器から Va と Vb を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
  4. ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて Vs·GF·ε/4、/2、×1 を使います。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件
fs > 2·fmax, fN = fs/2
エイリアス周波数
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
ステップ幅
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）
±½ LSB
切り捨て ADC のコード
D = ⌊Vin/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート
チャネル数 × fs × N bit/s
マルチプレクス ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比
baud = fclk/(16·D)

解き方

  1. まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
  2. サンプリングの問題では、各周波数を fs/2 と比べます。それより高い周波数は、fs の最も近い整数倍を使って fa = |f − k·fs| の位置に現れます。
  3. 分解能の問題では、1 LSB = VFSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能 を満たす最小の N を求めます。
  4. データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

オペアンプ回路

反転増幅器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
非反転増幅器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加算増幅器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想オペアンプ
V+ = V−, Iin = 0

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

テブナン・ノートン

テブナン電圧
Vth = Vopen circuit
テブナン抵抗
Rth：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流
IN = Vth/Rth
負荷電流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大電力伝送
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

解き方

  1. 負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
  2. a と b の間の開放電圧を求めます：これが Vth です。
  3. 独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが Rth です。
  4. 負荷を等価回路に戻します：Vth と Rth の直列です。
  5. ノートン等価回路には変換します：IN = Vth/Rth、RN = Rth を並列に接続します。

2演習問題

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう
+−15 V300 Ω300 Ω + ΔR300 Ω300 Ωab+−147.1 mV

4 つの辺がすべて 300 Ω のブリッジに 15 V を供給します。センサ R₂ が変化すると、出力は Vab = 147.1 mV を示します。R₂ の厳密な変化量 ΔR を求めなさい。

Vs = 15 VR = 300 ΩVab = 147.1 mV
ΔR = Ω
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい
+−10 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−Vo​

1/4 ブリッジ（アクティブゲージ 1 枚、GF = 2.05）に 10 V を加えます。測定する最大のひずみは 1200 µε で、そのときアナログ–デジタル変換器の入力で 3.3 V にしなければなりません。増幅器のゲイン G を求めなさい。

Vs = 10 VGF = 2.05εmax = 1200 µεVFS = 3.3 V
G =
3.データ収録とサンプリングふつう
Vin​N = 102.5 V2ᴺ − 101 LSB0.453 V?

入力範囲 0〜2.5 V の 10 ビット ADC が切り捨てを行い、その出力コードは ⌊Vin/LSB⌋、1 LSB = VFSR/2ᴺ です。入力 0.453 V に対する 10 進の出力コード D を求めなさい。

N = 10VFSR = 2.5 VVin = 0.453 V
D =
4.データ収録とサンプリングむずかしい
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​1/fbaud​24 MHz / (16·D)

クロック 24 MHz のマイクロコントローラが、UART のボーレートを fclk/(16·D) に設定します。D は最も近い値に丸めた整数です。目標は 57600 baud です。実際のボーレートの誤差を百分率で求めなさい（速すぎる場合を正とします）。

fclk = 24 MHz目標値 = 57600 Bd
e = %
5.オペアンプ回路ふつう
−+Vout​Rf​ = 47 kΩR1​ = 10 kΩVin​ = 1.7 V

オペアンプは理想的で、±15 V 電源で動作する。 出力電圧 Vout を求めよ。

Vin = 1.7 VR1 = 10 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
6.オペアンプ回路むずかしい
−+Vout​R2​ = 4.7 kΩV1​ = −0.1 VR1​ = 4.7 kΩV2​ = 1.8 VR3​ = 1 kΩR4​ = 2 kΩ

オペアンプは理想的で、±15 V 電源で動作する。 抵抗の比はそろっていない。出力電圧 Vout を求めよ。

V1 = −0.1 VV2 = 1.8 VR1 = 4.7 kΩR2 = 4.7 kΩR3 = 1 kΩR4 = 2 kΩ
Vout = V
7.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩAR4​6 ΩB

電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。

V1 = 6 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
8.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 5 ΩIR1​R3​ = 10 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​36 VR2​8 ΩAR4​3 ΩBR6​6 Ω

電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。

V1 = 36 VR1 = 5 ΩR2 = 8 ΩR3 = 10 ΩR4 = 3 ΩR5 = 25 ΩR6 = 6 Ω
IR1 = A
9.テブナン・ノートンふつう
R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAab

ノートン電流 IN を求めよ：端子を短絡したとき a から b へ流れる電流。

V1 = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 Ω
IN = A
10.テブナン・ノートンむずかしい
R1​ = 15 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAIs​1.5 ABab

ノートン電流 IN を求めよ：端子を短絡したとき a から b へ流れる電流。

V1 = 9 VIs = 1.5 AR1 = 15 ΩR2 = 12 ΩR3 = 5 Ω
IN = A

3溶液

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: ΔR = 12 Ω

ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 Vs を共有します。左の分圧器 R1–R2 は Va = Vs·R2/(R1 + R2) を、右の分圧器 R3–R4 は Vb = Vs·R4/(R3 + R4) を与え、出力は Vab = Va − Vb です。R1/R2 = R3/R4、すなわち R1·R4 = R2·R3 のとき、ブリッジは平衡しています（Vab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは Rth = R1∥R2 + R3∥R4 のテブナン電源です。

節点電圧

Va = 7.5 + 0.1471 = 7.647 V

分圧器を解く

R₂ = 300·7.647/(15 − 7.647) = 312 Ω
ΔR = 312 − 300 = 12 Ω

答え

ΔR = 12 Ω
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: G = 536.6

ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき Vo ≈ Vs·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では Vs·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では Vs·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。

フルスケールでのブリッジ出力

Vo = 6.15 mV

利得

G = 3.3/0.00615 = 536.6

答え

G = 536.6
3.データ収録とサンプリング

答え: D = 185

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

ステップ幅

1 LSB = 2.5/210 = 2.441 mV

コード

Vin/LSB = 453/2.441 = 185.5
コード = ⌊185.5⌋ = 185

答え

D = 185

2 進数では 0010111001 です。

4.データ収録とサンプリング

答え: e = 0.1603 %

UART：調歩同期式のシリアル通信は、各バイトをフレームとして送ります：スタートビット（Low）1 つ、データビット、任意のパリティビット、ストップビット（High）1 つまたは 2 つ。ボーレートは毎秒のビット数なので、1 ビットの長さは Tb = 1/ボーレート、n ビットのフレームの長さは n/ボーレートです。よく使われる 8N1 形式は 1 バイトが 10 ビットです。ボーレート発生器はクロックを分周します：ボーレート = fclk/(16·D)、D は整数なので、実際のボーレートは目標値とわずかに異なります。誤差がおよそ 2 % 未満なら、たいてい許容されます。

分周比

D = 24·10⁶/(16·57600) = 26.04 → 26

実際のボーレート

24·10⁶/(16·26) = 57692 Bd

誤差

(57692 − 57600)/57600·100 = 0.1603 %

答え

e = 0.1603 %

誤差がおよそ 2 % 未満なら、たいてい許容されます。

5.オペアンプ回路

答え: Vout = 9.69 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

反転入力が入力に追従する

V₋ = V₊ = 1.7 V
I = V₋/R1 = 1.7/10 = 0.17 mA

出力電圧

R₁ の電流は Rf も流れます。

Vout = V₋ + I·Rf = 1.7 + 0.17·47 = 9.69 V

答え

Vout = 9.69 V
6.オペアンプ回路

答え: Vout = 2.5 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

+ 入力の電圧

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1.8·2/(1 + 2) = 1.2 V

2 つの入力を重ね合わせる

V₂ = 0 のとき、V₁ から見ると反転増幅器です。V₁ = 0 のとき、V₊ は非反転利得 1 + R₂/R₁ で増幅されます。

Vout = −(4.7/4.7)·(−0.1) + (1 + 4.7/4.7)·1.2 = 0.1 + 2.4 = 2.5 V

答え

Vout = 2.5 V
7.抵抗の直列・並列

答え: Req = 10 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩAR4​6 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 4 + 6 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 10·10/(10+10) = 5 Ω
Req = R1 + 5 = 5 + 5 = 10 Ω

答え

Req = 10 Ω
8.抵抗の直列・並列

答え: IR1 = 3.631 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 5 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​36 VR2​8 ΩAR4​3 ΩBR6​6 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 25 + 6 = 31 Ω
R4 ∥ 31 = 2.735 Ω
R3 + 2.735 = 12.74 Ω
R2 ∥ 12.74 = 4.913 Ω
Req = R1 + 4.913 = 5 + 4.913 = 9.913 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 36/9.913 = 3.631 A

答え

IR1 = 3.631 A
9.テブナン・ノートン

答え: IN = 0.4286 A

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω短絡R2​5 ΩAabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 10·5/(10+5) = 3.333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.333 + 6 = 9.333 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAab+−Vth​

開放電圧 Vth を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·5/(10+5) = 4 V
IN​0.4286 ARth​9.333 Ωab

ノートン等価回路

ノートン電源は、同じ回路を R_th と並列な電流源として見たものです。その電流は a–b の短絡電流です。

IN = Vth/Rth = 4/9.333 = 0.4286 A
10.テブナン・ノートン

答え: IN = 1.843 A

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 15 ΩR3​ = 5 Ω短絡R2​12 ΩA開放BabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 15·12/(15+12) = 6.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6.667 + 5 = 11.67 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

開放電圧 Vth を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4 + 1.5·6.667 = 14 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 14 + 1.5·5 = 21.5 V
IN​1.843 ARth​11.67 Ωab

ノートン等価回路

ノートン電源は、同じ回路を R_th と並列な電流源として見たものです。その電流は a–b の短絡電流です。

IN = Vth/Rth = 21.5/11.67 = 1.843 A

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