1公式と解法
ホイートストンブリッジとひずみゲージ
- 分圧器の電圧
- Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
- 排泄量
- Vab = Va − Vb
- 出納
- R1/R2 = R3/R4
- スライドワイヤブリッジ
- R/Rx = l/(100 − l)
- テブナン抵抗
- Rth = R1∥R2 + R3∥R4
- ゲージ率
- ΔR/R = GF·ε
- ブリッジの出力
- 1/4 ブリッジ Vs·GF·ε/4、1/2 ブリッジ Vs·GF·ε/2、フルブリッジ Vs·GF·ε
- 微小変化、1 辺のみ
- Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
- 応力
- σ = E·ε
解き方
- ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
- 平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
- 不平衡ブリッジでは、分圧器から Va と Vb を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
- ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて Vs·GF·ε/4、/2、×1 を使います。
データ収録とサンプリング
- ナイキスト条件
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- エイリアス周波数
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- ステップ幅
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- 量子化誤差（四捨五入）
- ±½ LSB
- 切り捨て ADC のコード
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- 分解能 r に必要なビット数
- 2ᴺ ≥ span/r
- 理想 SQNR（フルスケールの正弦波）
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- データレート
- チャネル数 × fs × N bit/s
- マルチプレクス ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
- ボーレート分周比
- baud = fclk/(16·D)
解き方
- まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
- サンプリングの問題では、各周波数を fs/2 と比べます。それより高い周波数は、fs の最も近い整数倍を使って fa = |f − k·fs| の位置に現れます。
- 分解能の問題では、1 LSB = VFSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能 を満たす最小の N を求めます。
- データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。
オペアンプ回路
- 反転増幅器
- Vout = −(Rf/Rin)·Vin
- 非反転増幅器
- Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
- 加算増幅器
- Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
- 理想オペアンプ
- V+ = V−, Iin = 0
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
テブナン・ノートン
- テブナン電圧
- Vth = Vopen circuit
- テブナン抵抗
- Rth：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
- ノートン電流
- IN = Vth/Rth
- 負荷電流
- IL = Vth/(Rth + RL)
- 最大電力伝送
- RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
解き方
- 負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
- a と b の間の開放電圧を求めます：これが Vth です。
- 独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが Rth です。
- 負荷を等価回路に戻します：Vth と Rth の直列です。
- ノートン等価回路には変換します：IN = Vth/Rth、RN = Rth を並列に接続します。
2演習問題
1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう
4 つの辺がすべて 470 Ω のブリッジで、Vs = 12 V です。センサ R₂ が ΔR = 0.94 Ω だけ増加します。微小変化の近似を使って、出力 Vab を mV で求めなさい。
Vs = 12 VR = 470 ΩΔR = 0.94 Ω
Vab = mV
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい
120 Ω の辺をもつブリッジに 3 V を加え、隣り合う辺にアクティブゲージ 2 枚、1 枚は引張、1 枚は圧縮（1/2 ブリッジ） とします。ゲージ率は 2.12、ひずみは 200 µε です。ブリッジの出力 Vo を mV で求めなさい。
Vs = 3 VGF = 2.12ε = 200 µε
Vo = mV
3.データ収録とサンプリングふつう
入力範囲 0〜10 V の 8 ビット ADC が切り捨てを行い、その出力コードは ⌊Vin/LSB⌋、1 LSB = VFSR/2ᴺ です。入力 5.948 V に対する 10 進の出力コード D を求めなさい。
N = 8VFSR = 10 VVin = 5.948 V
D =
4.データ収録とサンプリングむずかしい
10 ビット ADC がすべてのサンプルを UART で 38400 baud、8E1 形式（スタートビット、データ 8 ビット、偶数パリティ、ストップビット 1 個）で送ります。各サンプルは 2 バイトの整数バイトで送られ、通信路は常にふさがっています。エイリアシングなしにサンプリングできる最高の信号周波数 fmax を Hz で求めなさい。
baud = 38400 BdN = 108E1
fmax = Hz
5.オペアンプ回路ふつう
この非反転増幅器の電圧利得を 8 にする帰還抵抗 Rf を選べ。
R1 = 47 kΩAv = 8
Rf = kΩ
6.オペアンプ回路むずかしい
オペアンプは理想的で、±15 V 電源で動作する。 抵抗の比はそろっていない。出力電圧 Vout を求めよ。
V1 = −0.2 VV2 = 0.6 VR1 = 4.7 kΩR2 = 100 kΩR3 = 4.7 kΩR4 = 1 kΩ
Vout = V
7.抵抗の直列・並列ふつう
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 6 ΩR3 = 5 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
8.抵抗の直列・並列むずかしい
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
V1 = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 25 ΩR4 = 15 ΩR5 = 12 ΩR6 = 6 Ω
IR2 = A
9.テブナン・ノートンふつう
端子 a–b から見たテブナン抵抗 Rth を求めよ。
V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 5 Ω
Rth = Ω
10.テブナン・ノートンむずかしい
a–b 間に負荷 RL = 20 Ω を接続する。回路の残りをテブナン等価回路に置き換え、負荷電流 IL を求めよ。
V1 = 12 VIs = 1.5 AR1 = 6 ΩR2 = 2 ΩR3 = 20 ΩRL = 20 Ω
IL = A
3溶液
1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ
答え: Vab = 6 mV
ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 Vs を共有します。左の分圧器 R1–R2 は Va = Vs·R2/(R1 + R2) を、右の分圧器 R3–R4 は Vb = Vs·R4/(R3 + R4) を与え、出力は Vab = Va − Vb です。R1/R2 = R3/R4、すなわち R1·R4 = R2·R3 のとき、ブリッジは平衡しています（Vab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは Rth = R1∥R2 + R3∥R4 のテブナン電源です。
厳密な値は 5.994 mV です。ΔR/R が小さいうちは、近似はよく合います。
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ
答え: Vo = 0.636 mV
ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき Vo ≈ Vs·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では Vs·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では Vs·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。
抵抗の相対変化
ΔR/R = 2.12·200·10⁻⁶ = 0.000424
ブリッジの出力
Vo = Vs·GF·ε/2 = 3·0.000424/2 = 0.636 mV
3.データ収録とサンプリング
答え: D = 152
ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。
コード
Vin/LSB = 5948/39.06 = 152.3
コード = ⌊152.3⌋ = 152
4.データ収録とサンプリング
答え: fmax = 872.7 Hz
UART：調歩同期式のシリアル通信は、各バイトをフレームとして送ります：スタートビット（Low）1 つ、データビット、任意のパリティビット、ストップビット（High）1 つまたは 2 つ。ボーレートは毎秒のビット数なので、1 ビットの長さは Tb = 1/ボーレート、n ビットのフレームの長さは n/ボーレートです。よく使われる 8N1 形式は 1 バイトが 10 ビットです。ボーレート発生器はクロックを分周します：ボーレート = fclk/(16·D)、D は整数なので、実際のボーレートは目標値とわずかに異なります。誤差がおよそ 2 % 未満なら、たいてい許容されます。
最高サンプリング周波数
fs,max = 38400/22 = 1745 Hz
5.オペアンプ回路
答え: Rf = 329 kΩ
理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。
非反転増幅器の利得
V₋ = V₊ = Vin で、R₁ の電流は Rf も流れるので Vout = Vin·(1 + Rf/R₁)。
Av = 1 + Rf/R1
Rf = (8 − 1)·47 = 329 kΩ
6.オペアンプ回路
答え: Vout = 6.6 V
理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。
+ 入力の電圧
V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 0.6·1/(4.7 + 1) = 0.1053 V
2 つの入力を重ね合わせる
V₂ = 0 のとき、V₁ から見ると反転増幅器です。V₁ = 0 のとき、V₊ は非反転利得 1 + R₂/R₁ で増幅されます。
Vout = −(100/4.7)·(−0.2) + (1 + 100/4.7)·0.1053 = 4.255 + 2.345 = 6.6 V
7.抵抗の直列・並列
答え: Req = 9.882 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 5 + 6 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 6·11/(6+11) = 3.882 Ω
Req = R1 + 3.882 = 6 + 3.882 = 9.882 Ω
8.抵抗の直列・並列
答え: IR2 = 0.3408 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 12 + 6 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 8.182 Ω
R3 + 8.182 = 33.18 Ω
R2 ∥ 33.18 = 3.57 Ω
Req = R1 + 3.57 = 20 + 3.57 = 23.57 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 9/23.57 = 0.3818 A
R₂ を流れる電流
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0.3818·20 = 1.363 V
IR2 = VA/R2 = 1.363/4 = 0.3408 A
9.テブナン・ノートン
答え: Rth = 6.818 Ω
テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。
すべての電源を止めて Rth を求める
電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。
R1 ∥ R2 = 2·20/(2+20) = 1.818 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.818 + 5 = 6.818 Ω
10.テブナン・ノートン
答え: IL = −0.7048 A
テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。
すべての電源を止めて Rth を求める
電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。
R1 ∥ R2 = 6·2/(6+2) = 1.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.5 + 20 = 21.5 Ω
開放電圧 Vth を求める
a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3 + (−1.5)·1.5 = 0.75 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 0.75 + (−1.5)·20 = −29.25 V
負荷をテブナン等価回路につなぐ
テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。
IL = Vth/(Rth + RL) = −29.25/(21.5 + 20) = −0.7048 A