計測と計装：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

分圧器の電圧
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
排泄量
Vab = Va − Vb
出納
R1/R2 = R3/R4
スライドワイヤブリッジ
R/Rx = l/(100 − l)
テブナン抵抗
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
ゲージ率
ΔR/R = GF·ε
ブリッジの出力
1/4 ブリッジ Vs·GF·ε/4、1/2 ブリッジ Vs·GF·ε/2、フルブリッジ Vs·GF·ε
微小変化、1 辺のみ
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
応力
σ = E·ε

解き方

  1. ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
  2. 平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
  3. 不平衡ブリッジでは、分圧器から Va と Vb を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
  4. ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて Vs·GF·ε/4、/2、×1 を使います。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件
fs > 2·fmax, fN = fs/2
エイリアス周波数
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
ステップ幅
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）
±½ LSB
切り捨て ADC のコード
D = ⌊Vin/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート
チャネル数 × fs × N bit/s
マルチプレクス ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比
baud = fclk/(16·D)

解き方

  1. まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
  2. サンプリングの問題では、各周波数を fs/2 と比べます。それより高い周波数は、fs の最も近い整数倍を使って fa = |f − k·fs| の位置に現れます。
  3. 分解能の問題では、1 LSB = VFSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能 を満たす最小の N を求めます。
  4. データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

オペアンプ回路

反転増幅器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
非反転増幅器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加算増幅器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想オペアンプ
V+ = V−, Iin = 0

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

テブナン・ノートン

テブナン電圧
Vth = Vopen circuit
テブナン抵抗
Rth：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流
IN = Vth/Rth
負荷電流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大電力伝送
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

解き方

  1. 負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
  2. a と b の間の開放電圧を求めます：これが Vth です。
  3. 独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが Rth です。
  4. 負荷を等価回路に戻します：Vth と Rth の直列です。
  5. ノートン等価回路には変換します：IN = Vth/Rth、RN = Rth を並列に接続します。

2演習問題

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう
+−12 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−Vab​ = ?

4 つの辺がすべて 1000 Ω のブリッジで、Vs = 12 V です。センサ R₂ が ΔR = 10 Ω だけ増加します。微小変化の近似を使って、出力 Vab を mV で求めなさい。

Vs = 12 VR = 1000 ΩΔR = 10 Ω
Vab = mV
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい
+−10 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−Vo​ = ?

1000 Ω の辺をもつブリッジに 10 V を加え、アクティブゲージ 1 枚（1/4 ブリッジ） とします。ゲージ率は 2.1、ひずみは 400 µε です。ブリッジの出力 Vo を mV で求めなさい。

Vs = 10 VGF = 2.1ε = 400 µε
Vo = mV
3.データ収録とサンプリングふつう
Vin​N = ?200 mm2ᴺ − 10≤ 0.5 mm

センサが 距離 を 200 mm の範囲で測定し、その出力が ADC の入力範囲全体を満たします。読み取りは 0.5 mm を分解できなければなりません。ADC に必要な最小のビット数 N を求めなさい。

範囲 = 200 mm分解能 = 0.5 mm
N =
4.データ収録とサンプリングむずかしい
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​Tb​10·Tb​460800 Bd, 8N1

12 ビット ADC がすべてのサンプルを UART で 460800 baud、8N1 形式（スタートビット、データ 8 ビット、ストップビット 1 個）で送ります。各サンプルは 2 バイトの整数バイトで送られ、通信路は常にふさがっています。エイリアシングなしにサンプリングできる最高の信号周波数 fmax を Hz で求めなさい。

baud = 460800 BdN = 128N1
fmax = Hz
5.オペアンプ回路ふつう
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 4.7 kΩVin​

この非反転増幅器の電圧利得を 11 にする帰還抵抗 Rf を選べ。

R1 = 4.7 kΩAv = 11
Rf = kΩ
6.オペアンプ回路むずかしい
−+Vout​Rf​ = 47 kΩV1​ = 1.1 VR1​ = 47 kΩV2​ = −1 VR2​ = 4.7 kΩ

加算増幅器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使う。 出力電圧 Vout を求めよ。

V1 = 1.1 VV2 = −1 VR1 = 47 kΩR2 = 4.7 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
7.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAR4​2 ΩB

電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。

V1 = 24 VR1 = 20 ΩR2 = 2 ΩR3 = 8 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
8.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 12 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAR4​20 ΩBR6​5 Ω

電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。

V1 = 36 VR1 = 12 ΩR2 = 5 ΩR3 = 20 ΩR4 = 20 ΩR5 = 30 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
9.テブナン・ノートンふつう
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​10 ΩARL​10 ΩIL​B

a–b 間に負荷 RL = 10 Ω を接続する。回路の残りをテブナン等価回路に置き換え、負荷電流 IL を求めよ。

V1 = 15 VR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 20 ΩRL = 10 Ω
IL = A
10.テブナン・ノートンむずかしい
R1​ = 10 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAIs​2.5 ABab

端子 a–b から見たテブナン電圧 Vth を求めよ。

V1 = 15 VIs = 2.5 AR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩR3 = 15 Ω
Vth = V

3溶液

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: Vab = 30 mV

ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 Vs を共有します。左の分圧器 R1–R2 は Va = Vs·R2/(R1 + R2) を、右の分圧器 R3–R4 は Vb = Vs·R4/(R3 + R4) を与え、出力は Vab = Va − Vb です。R1/R2 = R3/R4、すなわち R1·R4 = R2·R3 のとき、ブリッジは平衡しています（Vab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは Rth = R1∥R2 + R3∥R4 のテブナン電源です。

相対変化

ΔR/R = 10/1000 = 0.01

線形化した出力

Vab ≈ 12·0.01/4 = 30 mV

答え

Vab = 30 mV

厳密な値は 29.85 mV です。ΔR/R が小さいうちは、近似はよく合います。

2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: Vo = 2.1 mV

ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき Vo ≈ Vs·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では Vs·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では Vs·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。

抵抗の相対変化

ΔR/R = 2.1·400·10⁻⁶ = 0.00084

ブリッジの出力

Vo ≈ Vs·GF·ε/4 = 10·0.00084/4 = 2.1 mV

答え

Vo = 2.1 mV
3.データ収録とサンプリング

答え: N = 9

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

必要なステップ数

200/0.5 = 400

ビット数

log₂(400) = 8.644
28 = 256 < 400 ≤ 29 = 512
N = 9

答え

N = 9
4.データ収録とサンプリング

答え: fmax = 11520 Hz

UART：調歩同期式のシリアル通信は、各バイトをフレームとして送ります：スタートビット（Low）1 つ、データビット、任意のパリティビット、ストップビット（High）1 つまたは 2 つ。ボーレートは毎秒のビット数なので、1 ビットの長さは Tb = 1/ボーレート、n ビットのフレームの長さは n/ボーレートです。よく使われる 8N1 形式は 1 バイトが 10 ビットです。ボーレート発生器はクロックを分周します：ボーレート = fclk/(16·D)、D は整数なので、実際のボーレートは目標値とわずかに異なります。誤差がおよそ 2 % 未満なら、たいてい許容されます。

回線上の 1 サンプルあたりのビット数

2·10 = 20 bit

最高サンプリング周波数

fs,max = 460800/20 = 23040 Hz

ナイキストの限界

fmax = 23040/2 = 11520 Hz

答え

fmax = 11520 Hz
5.オペアンプ回路

答え: Rf = 47 kΩ

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

非反転増幅器の利得

V₋ = V₊ = Vin で、R₁ の電流は Rf も流れるので Vout = Vin·(1 + Rf/R₁)。

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (11 − 1)·4.7 = 47 kΩ

答え

Rf = 47 kΩ
6.オペアンプ回路

答え: Vout = 8.9 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

入力電流

V₋ = 0 なので、各入力抵抗には入力電圧がそのままかかります。

I1 = V1/R1 = 1.1/47 = 0.0234 mA
I2 = V2/R2 = −1/4.7 = −0.2128 mA
If = I1 + I2 = −0.1894 mA

出力電圧

Vout = −Rf·If = −47·(−0.1894) = 8.9 V

答え

Vout = 8.9 V
7.抵抗の直列・並列

答え: Req = 21.67 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAR4​2 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 8 + 2 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 2·10/(2+10) = 1.667 Ω
Req = R1 + 1.667 = 20 + 1.667 = 21.67 Ω

答え

Req = 21.67 Ω
8.抵抗の直列・並列

答え: Req = 16.34 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 12 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAR4​20 ΩBR6​5 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 30 + 5 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 12.73 Ω
R3 + 12.73 = 32.73 Ω
R2 ∥ 32.73 = 4.337 Ω
Req = R1 + 4.337 = 12 + 4.337 = 16.34 Ω

答え

Req = 16.34 Ω
9.テブナン・ノートン

答え: IL = 0.3261 A

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω短絡R2​10 ΩAabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 4·10/(4+10) = 2.857 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.857 + 20 = 22.86 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​10 ΩAab+−Vth​

開放電圧 Vth を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·10/(4+10) = 10.71 V
Rth​ = 22.86 Ω+−Vth​10.71 VRL​10 ΩIL​

負荷をテブナン等価回路につなぐ

テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。

IL = Vth/(Rth + RL) = 10.71/(22.86 + 10) = 0.3261 A
10.テブナン・ノートン

答え: Vth = −44.17 V

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 10 ΩR3​ = 15 Ω短絡R2​20 ΩA開放BabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 10·20/(10+20) = 6.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6.667 + 15 = 21.67 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAIs​2.5 ABab+−Vth​

開放電圧 Vth を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 10 + (−2.5)·6.667 = −6.667 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −6.667 + (−2.5)·15 = −44.17 V

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