計測と計装：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

分圧器の電圧: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
排泄量: V_ab = V_a − V_b
出納: R₁/R₂ = R₃/R₄
スライドワイヤブリッジ: R/R_x = l/(100 − l)
テブナン抵抗: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
ゲージ率: ΔR/R = GF·ε
ブリッジの出力: 1/4 ブリッジ V_s·GF·ε/4、1/2 ブリッジ V_s·GF·ε/2、フルブリッジ V_s·GF·ε
微小変化、1 辺のみ: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
応力: σ = E·ε

解き方

ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
不平衡ブリッジでは、分圧器から V_a と V_b を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて V_s·GF·ε/4、/2、×1 を使います。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
エイリアス周波数: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
ステップ幅: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）: ±½ LSB
切り捨て ADC のコード: D = ⌊V_in/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート: チャネル数 × f_s × N bit/s
マルチプレクス ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比: baud = f_clk/(16·D)

解き方

まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
サンプリングの問題では、各周波数を f_s/2 と比べます。それより高い周波数は、f_s の最も近い整数倍を使って f_a = |f − k·f_s| の位置に現れます。
分解能の問題では、1 LSB = V_FSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能を満たす最小の N を求めます。
データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

オペアンプ回路

反転増幅器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
非反転増幅器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加算増幅器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想オペアンプ: V₊ = V₋, I_in = 0

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

テブナン・ノートン

テブナン電圧: V_th = V_{open circuit}
テブナン抵抗: R_th：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流: I_N = V_th/R_th
負荷電流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大電力伝送: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

解き方

負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
a と b の間の開放電圧を求めます：これが V_th です。
独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが R_th です。
負荷を等価回路に戻します：V_th と R_th の直列です。
ノートン等価回路には変換します：I_N = V_th/R_th、R_N = R_th を並列に接続します。

2演習問題

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう

220 Ω のひずみゲージが、4 つの辺がすべて 220 Ω で励起電圧 2 V のブリッジの 1 辺（R₂）になっています。ゲージで消費される電力 P_g を mW で求めなさい。自己発熱が励起電圧を制限します。

V_s = 2 VR = 220 Ω

P_g = mW

2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい

1000 Ω の辺をもつブリッジに 2.5 V を加え、アクティブゲージ 1 枚（1/4 ブリッジ）とします。ゲージ率は 2、ひずみは 400 µε です。ブリッジの出力 V_o を mV で求めなさい。

V_s = 2.5 VGF = 2ε = 400 µε

V_o = mV

3.データ収録とサンプリングふつう

レコーダが 4 チャネルを各 2 kHz、14 ビット ADC でサンプリングします。各サンプルは整数バイトで保存されます。1 分間の記録に必要なメモリ M を MB（1 MB = 10⁶ バイト）で求めなさい。

n = 4f_s = 2 kHzN = 14t = 1 min

M = MB

4.データ収録とサンプリングむずかしい

温度センサが 1 mV/°C（0 °C で 0 V）を出力します。その信号を 2.5 倍に増幅し、入力範囲 0〜10 V の 12 ビット ADC に入力します（1 LSB = V_FSR/2ᴺ）。1 LSB に対応する温度変化 ΔT_LSB を求めなさい。

S = 1 mV/°CG = 2.5N = 12V_FSR = 10 V

ΔT_LSB = °C

5.オペアンプ回路ふつう

差動増幅器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使い、R₃ = R₁、R₄ = R₂ である。反転入力の電圧 V₋ を求めよ。

V₁ = 1.9 VV₂ = 3 VR₁ = R₃ = 1 kΩR₂ = R₄ = 10 kΩ

V₋ = V

6.オペアンプ回路むずかしい

積分器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使い、出力は ±14 V で飽和する。t = 0 に一定の入力 V_in = 2.2 V が加えられたとき、コンデンサは充電されていない。 t = 10 ms での出力電圧 V_out を求めよ。

V_in = 2.2 VR = 100 kΩC = 0.22 µFV_sat = ±14 Vt = 10 ms

V_out = V

7.抵抗の直列・並列ふつう

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

8.抵抗の直列・並列むずかしい

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

9.テブナン・ノートンふつう

ノートン電流 I_N を求めよ：端子を短絡したとき a から b へ流れる電流。

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 Ω

I_N = A

10.テブナン・ノートンむずかしい

端子 a–b から見たテブナン電圧 V_th を求めよ。

V₁ = 10 VI_s = 4 AR₁ = 10 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 3 Ω

V_th = V

3溶液

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: P_g = 4.545 mW

ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 V_s を共有します。左の分圧器 R₁–R₂ は V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) を、右の分圧器 R₃–R₄ は V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄) を与え、出力は V_ab = V_a − V_b です。R₁/R₂ = R₃/R₄、すなわち R₁·R₄ = R₂·R₃ のとき、ブリッジは平衡しています（V_ab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ のテブナン電源です。

ゲージにかかる電圧

V = 2/2 = 1 V

電力

P_g = 1²/220 = 4.545 mW

答え

P_g = 4.545 mW

2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: V_o = 0.5 mV

ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき V_o ≈ V_s·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では V_s·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では V_s·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。

抵抗の相対変化

ΔR/R = 2·400·10⁻⁶ = 0.0008

ブリッジの出力

V_o ≈ V_s·GF·ε/4 = 2.5·0.0008/4 = 0.5 mV

答え

V_o = 0.5 mV

3.データ収録とサンプリング

答え: M = 0.96 MB

データレート：各チャネルは毎秒 f_s 個の N ビットのサンプルを出力するので、生のレートはチャネル数 × f_s × N bit/s です。メモリ上では 1 サンプルが整数バイトを占める（12 ビットのサンプルは 2 バイトで保存される）ので、記録に必要なメモリはチャネル数 × f_s × 1 サンプルのバイト数 × 時間です。マルチプレクス ADC はチャネルを 1 つずつ順に変換します：1 回の変換（整定時間を含む）に t かかるので、n チャネルの 1 巡に n·t かかり、各チャネルは 1/(n·t) でサンプリングされます。

1 サンプルのバイト数

⌈14/8⌉ = 2 B

バイトレート

4·2000·2 = 16000 B/s

メモリ

M = 16000·60 = 960000 B = 0.96 MB

答え

M = 0.96 MB

4.データ収録とサンプリング

答え: ΔT_LSB = 0.9766 °C

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 V_FSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = V_FSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊V_in/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

ステップ幅

1 LSB = 10000/4096 = 2.441 mV

ADC での感度

1·2.5 = 2.5 mV/°C

温度分解能

ΔT_LSB = 2.441/2.5 = 0.9766 °C

答え

ΔT_LSB = 0.9766 °C

ADC は 4000 °C でフルスケールに達します。

5.オペアンプ回路

答え: V₋ = 2.727 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

入力の電圧

R₃ と R₄ には同じ電流が流れるので分圧回路をつくり、帰還により V₋ = V₊ となります。

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 3·10/(1 + 10) = 2.727 V

V₋ = V₊

答え

V₋ = 2.727 V

6.オペアンプ回路

答え: V_out = −1 V

入力電流と変化率

kΩ × µF でミリ秒になります。

RC = 100 kΩ · 0.22 µF = 22 ms

変化率 = −V_in/(RC) = −2.2/22 = −0.1 V/ms

与えられた時刻での出力

理想的な値は ±V_sat の内にあるので、積分器はまだクリップしていません。

V_out = −V_in·t/(RC) = −2.2·10/22 = −1 V

答え

V_out = −1 V

7.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 0.415 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 12 + 10 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 15·22/(15+22) = 8.919 Ω

R_eq = R₁ + 8.919 = 20 + 8.919 = 28.92 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/28.92 = 0.415 A

答え

I_R1 = 0.415 A

8.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 0.9038 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 12 + 25 = 37 Ω

R₄ ∥ 37 = 4.405 Ω

R₃ + 4.405 = 7.405 Ω

R₂ ∥ 7.405 = 4.957 Ω

R_eq = R₁ + 4.957 = 5 + 4.957 = 9.957 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/9.957 = 0.9038 A

答え

I_R1 = 0.9038 A

9.テブナン・ノートン

答え: I_N = 0.566 A

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 I_N = V_th/R_th と R_th の並列回路として表します。

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 20·2/(20+2) = 1.818 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.818 + 3 = 4.818 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき R₃ には電流が流れないので電圧降下はなく、V_b = V_A です。R₁ と R₂ は分圧回路になります。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·2/(20+2) = 2.727 V

ノートン等価回路

ノートン電源は、同じ回路を R_th と並列な電流源として見たものです。その電流は a–b の短絡電流です。

I_N = V_th/R_th = 2.727/4.818 = 0.566 A

10.テブナン・ノートン

答え: V_th = 47.71 V

すべての電源を止めて R_th を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R₁ ∥ R₂ = 10·25/(10+25) = 7.143 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7.143 + 3 = 10.14 Ω

開放電圧 V_th を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7.143 + 4·7.143 = 35.71 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 35.71 + 4·3 = 47.71 V

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計測と計装：直前対策パック

1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

解き方

データ収録とサンプリング

解き方

オペアンプ回路

抵抗の直列・並列

解き方

テブナン・ノートン

解き方

2演習問題

3溶液

ゲージにかかる電圧

電力

答え

抵抗の相対変化

ブリッジの出力

答え

1 サンプルのバイト数

バイトレート

メモリ

答え

ステップ幅

ADC での感度

温度分解能

答え

入力の電圧

答え

入力電流と変化率

与えられた時刻での出力

答え

遠い端から抵抗をまとめる

電源からの電流

答え

遠い端から抵抗をまとめる

電源からの電流

答え

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

ノートン等価回路

すべての電源を止めて Rth を求める

開放電圧 Vth を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める

すべての電源を止めて R_th を求める

開放電圧 V_th を求める