計測と計装：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

ホイートストンブリッジとひずみゲージ

分圧器の電圧
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
排泄量
Vab = Va − Vb
出納
R1/R2 = R3/R4
スライドワイヤブリッジ
R/Rx = l/(100 − l)
テブナン抵抗
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
ゲージ率
ΔR/R = GF·ε
ブリッジの出力
1/4 ブリッジ Vs·GF·ε/4、1/2 ブリッジ Vs·GF·ε/2、フルブリッジ Vs·GF·ε
微小変化、1 辺のみ
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
応力
σ = E·ε

解き方

  1. ブリッジを、同じ電源につながれた 2 つの分圧器として扱います。
  2. 平衡では、R₁/R₂ = R₃/R₄ とおいて、未知の抵抗について解きます。
  3. 不平衡ブリッジでは、分圧器から Va と Vb を求めて差をとります。計器が出力に負荷をかけるときは、テブナン等価回路を使います。
  4. ひずみゲージでは、ひずみを ΔR/R = GF·ε に直し、1/4、1/2、フルブリッジに応じて Vs·GF·ε/4、/2、×1 を使います。

データ収録とサンプリング

ナイキスト条件
fs > 2·fmax, fN = fs/2
エイリアス周波数
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
ステップ幅
1 LSB = VFSR/2ᴺ
量子化誤差（四捨五入）
±½ LSB
切り捨て ADC のコード
D = ⌊Vin/LSB⌋
分解能 r に必要なビット数
2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR（フルスケールの正弦波）
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
データレート
チャネル数 × fs × N bit/s
マルチプレクス ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/ボーレート；8N1 = 1 バイトあたり 10 ビット；バイト/s = ボーレート/1 フレームのビット数
ボーレート分周比
baud = fclk/(16·D)

解き方

  1. まず与えられた値を書き出します：サンプリング周波数、信号の周波数、ビット数、入力レンジ、ボーレート。
  2. サンプリングの問題では、各周波数を fs/2 と比べます。それより高い周波数は、fs の最も近い整数倍を使って fa = |f − k·fs| の位置に現れます。
  3. 分解能の問題では、1 LSB = VFSR/2ᴺ を求めるか、2ᴺ ≥ 範囲/分解能 を満たす最小の N を求めます。
  4. データレートと UART 通信では、送られるものをすべて数えます：チャネル数、毎秒のサンプル数、1 サンプルあたりのビット数またはバイト数、そして各フレームのスタートビット、パリティビット、ストップビット。

オペアンプ回路

反転増幅器
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
非反転増幅器
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
加算増幅器
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
理想オペアンプ
V+ = V−, Iin = 0

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

テブナン・ノートン

テブナン電圧
Vth = Vopen circuit
テブナン抵抗
Rth：すべての電源を取り除き、a–b から見た抵抗
ノートン電流
IN = Vth/Rth
負荷電流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大電力伝送
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

解き方

  1. 負荷を外し、2 つの端子を a と b とします。
  2. a と b の間の開放電圧を求めます：これが Vth です。
  3. 独立電源をすべて取り除き、a–b から見た抵抗を求めます：これが Rth です。
  4. 負荷を等価回路に戻します：Vth と Rth の直列です。
  5. ノートン等価回路には変換します：IN = Vth/Rth、RN = Rth を並列に接続します。

2演習問題

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージふつう
+−6 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−Vab​ = ?

4 つの辺がすべて 1000 Ω のブリッジで、Vs = 6 V です。センサ R₂ が ΔR = 2 Ω だけ増加します。微小変化の近似を使って、出力 Vab を mV で求めなさい。

Vs = 6 VR = 1000 ΩΔR = 2 Ω
Vab = mV
2.ホイートストンブリッジとひずみゲージむずかしい
+−5 V350 Ω − ΔR350 Ω + ΔR350 Ω + ΔR350 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

350 Ω の辺をもつブリッジに 5 V を加え、アクティブゲージ 4 枚、2 枚が引張、2 枚が圧縮（フルブリッジ） とします。ゲージ率は 2.1、ひずみは 250 µε です。ブリッジの出力 Vo を mV で求めなさい。

Vs = 5 VGF = 2.1ε = 250 µε
Vo = mV
3.データ収録とサンプリングふつう
Vin​N = 122.5 V2ᴺ − 101 LSB1.445 V?

入力範囲 0〜2.5 V の 12 ビット ADC が切り捨てを行い、その出力コードは ⌊Vin/LSB⌋、1 LSB = VFSR/2ᴺ です。入力 1.445 V に対する 10 進の出力コード D を求めなさい。

N = 12VFSR = 2.5 VVin = 1.445 V
D =
4.データ収録とサンプリングむずかしい
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​1/fbaud​24 MHz / (16·D)

クロック 24 MHz のマイクロコントローラが、UART のボーレートを fclk/(16·D) に設定します。D は最も近い値に丸めた整数です。目標は 115200 baud です。実際のボーレートの誤差を百分率で求めなさい（速すぎる場合を正とします）。

fclk = 24 MHz目標値 = 115200 Bd
e = %
5.オペアンプ回路ふつう
−+Vout​Rf​ = 100 kΩR1​ = 22 kΩVin​ = 1.2 V

オペアンプは理想的で、±15 V 電源で動作する。 出力電圧 Vout を求めよ。

Vin = 1.2 VR1 = 22 kΩRf = 100 kΩ
Vout = V
6.オペアンプ回路むずかしい
−+Vout​Rf​ = 100 kΩV1​ = −0.3 VR1​ = 100 kΩV2​ = 0.5 VR2​ = 10 kΩ

加算増幅器は ±15 V 電源の理想オペアンプを使う。 出力電圧 Vout を求めよ。

V1 = −0.3 VV2 = 0.5 VR1 = 100 kΩR2 = 10 kΩRf = 100 kΩ
Vout = V
7.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​6 ΩAR4​15 ΩB

電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。

V1 = 30 VR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 ΩR4 = 15 Ω
IR1 = A
8.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 3 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩIR2​AR4​8 ΩBR6​5 Ω

R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。

V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 3 ΩR3 = 6 ΩR4 = 8 ΩR5 = 10 ΩR6 = 5 Ω
IR2 = A
9.テブナン・ノートンふつう
R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAab

端子 a–b から見たテブナン抵抗 Rth を求めよ。

V1 = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 20 Ω
Rth = Ω
10.テブナン・ノートンむずかしい
R1​ = 6 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAIs​1 ABRL​3 ΩIL​

a–b 間に負荷 RL = 3 Ω を接続する。テブナン等価回路を使って、負荷で消費される電力 PL を求めよ。

V1 = 18 VIs = 1 AR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 5 ΩRL = 3 Ω
PL = W

3溶液

1.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: Vab = 3 mV

ホイートストンブリッジ：2 つの分圧器が 1 つの電源 Vs を共有します。左の分圧器 R1–R2 は Va = Vs·R2/(R1 + R2) を、右の分圧器 R3–R4 は Vb = Vs·R4/(R3 + R4) を与え、出力は Vab = Va − Vb です。R1/R2 = R3/R4、すなわち R1·R4 = R2·R3 のとき、ブリッジは平衡しています（Vab = 0 で、検流計に電流が流れません）。出力端子から見ると、ブリッジは Rth = R1∥R2 + R3∥R4 のテブナン電源です。

相対変化

ΔR/R = 2/1000 = 0.002

線形化した出力

Vab ≈ 6·0.002/4 = 3 mV

答え

Vab = 3 mV

厳密な値は 2.997 mV です。ΔR/R が小さいうちは、近似はよく合います。

2.ホイートストンブリッジとひずみゲージ

答え: Vo = 2.625 mV

ひずみゲージ：ゲージはひずみに応じて抵抗が変わります：ΔR/R = GF·ε。ゲージ率 GF は金属箔で約 2 です。すべての辺が R に等しいブリッジで、アクティブゲージが 1 枚（1/4 ブリッジ）のとき Vo ≈ Vs·GF·ε/4 です。隣り合う辺に逆向きのひずみを受ける 2 枚のアクティブゲージ（1/2 ブリッジ）では Vs·GF·ε/2、4 枚（フルブリッジ）では Vs·GF·ε になります。応力はフックの法則 σ = E·ε から求まります。ロードセルは感度を mV/V で表します：励起電圧 1 V あたりの定格荷重での出力です。

抵抗の相対変化

ΔR/R = 2.1·250·10⁻⁶ = 0.000525

ブリッジの出力

Vo = Vs·GF·ε = 5·0.000525 = 2.625 mV

答え

Vo = 2.625 mV
3.データ収録とサンプリング

答え: D = 2367

ADC の分解能：N ビットの変換器は、フルスケール範囲 VFSR を 0 から 2ᴺ − 1 までの 2ᴺ 個のコードに分けます。1 ステップは 1 LSB = VFSR/2ᴺ で、変換器が表示できる最小の変化です。切り捨て ADC はコード ⌊Vin/LSB⌋ を出力します。四捨五入する ADC は真の値から ½ LSB より離れることがなく、これが量子化誤差です。ビットが 1 つ増えるごとに LSB は半分になり、フルスケールの正弦波に対する理想的な信号対量子化雑音比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB はおよそ 6 dB 向上します。ある範囲で分解能 r を得るには、2ᴺ ≥ 範囲/r を満たす最小の N を選びます。

ステップ幅

1 LSB = 2.5/212 = 0.6104 mV

コード

Vin/LSB = 1445/0.6104 = 2367
コード = ⌊2367⌋ = 2367

答え

D = 2367

2 進数では 100100111111 です。

4.データ収録とサンプリング

答え: e = 0.1603 %

UART：調歩同期式のシリアル通信は、各バイトをフレームとして送ります：スタートビット（Low）1 つ、データビット、任意のパリティビット、ストップビット（High）1 つまたは 2 つ。ボーレートは毎秒のビット数なので、1 ビットの長さは Tb = 1/ボーレート、n ビットのフレームの長さは n/ボーレートです。よく使われる 8N1 形式は 1 バイトが 10 ビットです。ボーレート発生器はクロックを分周します：ボーレート = fclk/(16·D)、D は整数なので、実際のボーレートは目標値とわずかに異なります。誤差がおよそ 2 % 未満なら、たいてい許容されます。

分周比

D = 24·10⁶/(16·115200) = 13.02 → 13

実際のボーレート

24·10⁶/(16·13) = 115385 Bd

誤差

(115385 − 115200)/115200·100 = 0.1603 %

答え

e = 0.1603 %

誤差がおよそ 2 % 未満なら、たいてい許容されます。

5.オペアンプ回路

答え: Vout = 6.655 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

反転入力が入力に追従する

V₋ = V₊ = 1.2 V
I = V₋/R1 = 1.2/22 = 0.05455 mA

出力電圧

R₁ の電流は Rf も流れます。

Vout = V₋ + I·Rf = 1.2 + 0.05455·100 = 6.655 V

答え

Vout = 6.655 V
6.オペアンプ回路

答え: Vout = −4.7 V

理想オペアンプの規則：負帰還があるとき、オペアンプは 2 つの入力が同じ電圧 (V₋ = V₊) になるよう出力を調整し、どちらの入力にも電流は流れ込みません。この 2 つを使って反転入力で KCL を立てると出力が求まります。

入力電流

V₋ = 0 なので、各入力抵抗には入力電圧がそのままかかります。

I1 = V1/R1 = −0.3/100 = −0.003 mA
I2 = V2/R2 = 0.5/10 = 0.05 mA
If = I1 + I2 = 0.047 mA

出力電圧

Vout = −Rf·If = −100·0.047 = −4.7 V

答え

Vout = −4.7 V
7.抵抗の直列・並列

答え: IR1 = 1.544 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​6 ΩAR4​15 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 2 + 15 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 6·17/(6+17) = 4.435 Ω
Req = R1 + 4.435 = 15 + 4.435 = 19.43 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 30/19.43 = 1.544 A

答え

IR1 = 1.544 A
8.抵抗の直列・並列

答え: IR2 = 1.323 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 3 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAR4​8 ΩBR6​5 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 10 + 5 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 5.217 Ω
R3 + 5.217 = 11.22 Ω
R2 ∥ 11.22 = 2.367 Ω
Req = R1 + 2.367 = 3 + 2.367 = 5.367 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 9/5.367 = 1.677 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 1.677·3 = 3.969 V
IR2 = VA/R2 = 3.969/3 = 1.323 A

答え

IR2 = 1.323 A
9.テブナン・ノートン

答え: Rth = 22.4 Ω

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω短絡R2​3 ΩAabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 12·3/(12+3) = 2.4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.4 + 20 = 22.4 Ω
10.テブナン・ノートン

答え: PL = 5.912 W

テブナンの定理：線形な 2 端子回路は、1 つの電圧源 Vth と抵抗 Rth の直列回路と同じに振る舞います。ノートンの定理は同じ回路を、電流源 IN = Vth/Rth と Rth の並列回路として表します。

R1​ = 6 ΩR3​ = 5 Ω短絡R2​4 ΩA開放BabRth​

すべての電源を止めて Rth を求める

電圧源を短絡に、電流源を開放に置き換え、a–b から回路を見ます。

R1 ∥ R2 = 6·4/(6+4) = 2.4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.4 + 5 = 7.4 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

開放電圧 Vth を求める

a–b が開放のとき、Iₛ の経路は R₃ を通って節点 A へ向かうものだけです。V₁ と Iₛ の重ね合わせで V_A を求め、R₃ の電圧降下を加えます。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7.2 + 1·2.4 = 9.6 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 9.6 + 1·5 = 14.6 V
Rth​ = 7.4 Ω+−Vth​14.6 VRL​3 ΩIL​

負荷をテブナン等価回路につなぐ

テブナン電源と直列の R_th は a–b で元の回路とまったく同じに振る舞うので、負荷からは単純な直列回路に見えます。

IL = Vth/(Rth + RL) = 14.6/(7.4 + 3) = 1.404 A
PL = IL²·RL = 1.404²·3 = 5.912 W

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