基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 25 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、5.5 m/s² で一様に加速する。パトカーが追いつくまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

v_car = 25 m/sa_police = 5.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 2 m/s² で 11 s 加速し、次に 25 s 等速で走り、最後に 2 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 11 st₂ = 25 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 16 kg のブロックが、水平と 45° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 16 kgθ = 45°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 5.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 3.5 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 30 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 5 m の崖の上から水平から 15° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 14 m/sθ = 15°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 40° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。斜面に沿って 13 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 40°μ = 0.1d = 13 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックが 25° の斜面の下端で静止しており、斜面に平行な一定の力 85 N で斜面を引き上げられる。動摩擦係数は 0.2 である。ブロックが斜面を 9 m 上がった後の速さ v を求めよ。

m = 10 kgF = 85 Nθ = 25°μ = 0.2d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

水平に 18 m/s で動いている質量 19 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 15 kg の破片は前向きに 53 m/s で進み続ける。質量 4 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 19 kgu = 18 m/sm₁ = 15 kgv′₁ = 53 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 20 g の弾丸を、長さ 1.9 m の軽い糸でつり下げた質量 4.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 25° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 20 gM = 4.5 kgL = 1.9 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、150 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 220 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 220 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、75 mm から 50 mm に細くなりながら 6 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 220 kPa、流速は 2.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 220 kPav₁ = 2.75 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 5 L のタンクに、温度 75 °C のArが 140 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 140 gM = 39.95 g/molV = 5 LT = 75 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のO₂が 350 kPa、20 L、20 °C から 750 kPa、80 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 350 kPaV₁ = 20 LT₁ = 20 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 80 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 600 °C の高温熱源と 30 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 1100 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 600 °CT_L = 30 °CQ_H = 1100 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

2 つのカルノー機関が直列に働く。機関 A は 800 °C の熱源から熱を受け取り、温度 T_m の中間熱源へ熱を放出する。機関 B はその熱をすべて受け取り、40 °C の熱源へ熱を放出する。両方の機関の仕事は等しい。T_m を °C で求めよ。

T_H = 800 °CT_L = 40 °C

T_m = °C

19.波・音・光学ふつう

小さな音源が、あらゆる方向に均等に音を出します。音源から 5 m の距離でのレベルは 100 dB です。吸収と反射を無視して、10 m の距離でのレベル β₂ を求めてください。

β₁ = 100 dBr₁ = 5 mr₂ = 10 m

β₂ = dB

20.波・音・光学むずかしい

波長 486 nm の光が、1 ミリメートルあたり 800 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 2 の極大の角度 θ₂ を求めてください。

N = 800 mm⁻¹λ = 486 nmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.運動学

答え: t = 9.091 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·25/5.5 = 9.091 s

答え

t = 9.091 s

その瞬間、パトカーは 2v = 50 m/s で走っています。

2.運動学

答え: s = 792 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·11 = 22 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·2·11² = 121 m

s₂ = 22·25 = 550 m

s₃ = 22²/(2·2) = 121 m

全距離

s = 121 + 550 + 121 = 792 m

答え

s = 792 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 6.243 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.1·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.07071) = 6.243 m/s²

答え

a = 6.243 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 20.98 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 0)/9 = 3.815 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5.5·3.815 + 0 = 20.98 N

答え

T = 20.98 N

5.放物運動

答え: t = 2.092 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 20° = 28.19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 20° = 10.26 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·10.26/9.81 = 2.092 s

答え

t = 2.092 s

6.放物運動

答え: x = 19.53 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 15° = 13.52 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 15° = 3.623 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 5 + 3.623·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (3.623 + √(13.13 + 98.1))/9.81 = 1.444 s

水平距離

x = v_x·t = 13.52·1.444 = 19.53 m

答え

x = 19.53 m

7.仕事とエネルギー

答え: v = 12.02 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·13·(0.6428 − 0.1·0.766)) = 12.02 m/s

答え

v = 12.02 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: v = 6.809 m/s

斜面に沿った力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

mg·sin θ = 41.46 N

μ·mg·cos θ = 17.78 N

仕事とエネルギー

½mv² = (85 − 59.24)·9 = 231.8 J

v = √(2·231.8/10) = 6.809 m/s

答え

v = 6.809 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = −113.3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突前の運動量

p = M·u = 19·18 = 342 kg·m/s

衝突後の運動量

342 = 15·53 + 4·v′₂

v′₂ = (342 − 795)/4 = −113.3 m/s

答え

v′₂ = −113.3 m/s

マイナス符号は、2 つ目の破片が後ろ向きに飛ぶことを意味します。

10.運動量と衝突

答え: v = 422.4 m/s

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1.9·(1 − cos 25°) = 0.178 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.178) = 1.869 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 4.52·1.869/0.02 = 422.4 m/s

答え

v = 422.4 m/s

11.静水圧

答え: F = 95.65 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·3 = 95.65 kN

答え

F = 95.65 kN

12.静水圧

答え: F = 49.05 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·2 = 49.05 kN

答え

F = 49.05 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 215.8 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(150/75)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 3²)/1000 = −4.219 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 220 + (−4.219) = 215.8 kPa

答え

p₂ = 215.8 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 145.8 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.75·(75/50)² = 6.188 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.75² − 6.188²)/1000 = −15.36 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 220 + (−15.36) − 58.86 = 145.8 kPa

答え

p₂ = 145.8 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 2029 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 140/39.95 = 3.504 mol

T = 75 + 273.15 = 348.1 K

圧力

P = nRT/V = 3.504·8.314·348.1/0.005 = 2029 kPa

答え

P = 2029 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 11.24 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 293.1 K, T₂ = 353.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(350/750)·(353.1/293.1) = 11.24 L

答え

V₂ = 11.24 L

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 718.1 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/873.1 = 65.28 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.6528·1100 = 718.1 kJ

答え

W_max = 718.1 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: T_m = 420 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

仕事が等しい

W = Q·(1 − T_low/T_high) で、Q/T はどの熱源でも同じなので、W は温度降下に比例します。

T_m = (1073 + 313.1)/2 = 693.2 K = 420 °C

答え

T_m = 420 °C

19.波・音・光学

答え: β₂ = 93.98 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

強さの比

I₂/I₁ = (5/10)² = 0.25

新しいレベル

β₂ = 100 + 10·log₁₀(0.25) = 93.98 dB

答え

β₂ = 93.98 dB

距離が 2 倍になるごとに、レベルはおよそ 6 dB 下がります。

20.波・音・光学

答え: θ₂ = 51.04 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/800 mm = 1.25 × 10⁻⁶ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 2·486 × 10⁻⁹/(1.25 × 10⁻⁶) = 0.7776

θ = 51.04°

答え

θ₂ = 51.04°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers