基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が離陸するには 240 km/h の速さが必要で、使える滑走路の長さは 2000 m である。静止状態から出発するとき、必要な一定の加速度 a はいくらか。

v₀ = 0v = 240 km/hs = 2000 m

a = m/s²

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 1.5 m/s² で 11 s 加速し、次に 12 s 等速で走り、最後に 2.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。全所要時間 t を求めよ。

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 11 st₂ = 12 sa₃ = −2.5 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 8 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 8 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 2.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 4 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 4 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 65° 上向きに打ち出すと、85 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 65°R = 85 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 40 m の崖の上から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 12 m/sθ = 45°h = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

質量 4 kg のブロックが水平と 45° をなす斜面を 6 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.4 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 4 kgθ = 45°μ = 0.4d = 6 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 5 m から静かに放す。下で長さ 3 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2500 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 5 kgh = 5 mL = 3 mμ = 0.2k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、6 m/s で動く質量 4.5 kg のグライダーが、静止している質量 3 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.45 kg のボールが 14 m/s で壁に当たり、6 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.45 kgv_in = 14 m/sv_out = 6 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、100 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 160 kPa、流速は 3 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 160 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、100 mm から 40 mm に細くなりながら 4 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 240 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 240 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 10 L のタンクに、温度 35 °C のHeが 370 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 370 gM = 4.003 g/molV = 10 LT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

950 kPa、120 °C におけるCH₄の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 16.04 g/molP = 950 kPaT = 120 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 550 °C の熱源から熱を受け取り、30 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 35% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）η_II を求めよ。

T_H = 550 °CT_L = 30 °Cη = 35%

η_II = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 5 °C のときに家を 21 °C に保ち、家に 7 kW の熱を供給する。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 21 °CT_L = 5 °CQ̇_H = 7 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

一端が閉じた管の長さは 1.2 m です。音速は 343 m/s です。その第 5 倍音の振動数 f₅ を求めてください。

v = 343 m/sn = 5L = 1.2 m

f₅ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

波長 450 nm の光が、0.15 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 1 m 先にあります。隣り合う明線の間隔 Δy を求めてください。

λ = 450 nmd = 0.15 mmL = 1 m

Δy = mm

3溶液

1.運動学

答え: a = 1.111 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v = 240/3.6 = 66.67 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 66.67²/(2·2000) = 1.111 m/s²

答え

a = 1.111 m/s²

2.運動学

答え: t = 29.6 s

最高速度

v = a₁·t₁ = 1.5·11 = 16.5 m/s

制動時間

t₃ = v/a₃ = 16.5/2.5 = 6.6 s

合計時間

t = 11 + 12 + 6.6 = 29.6 s

答え

t = 29.6 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.512 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答え

a = 1.512 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 5.094 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 6.131)/6.5 = 5.094 m/s²

答え

a = 5.094 m/s²

5.放物運動

答え: v₀ = 32.99 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·85/sin 130°) = 32.99 m/s

答え

v₀ = 32.99 m/s

6.放物運動

答え: t = 3.849 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 45° = 8.485 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 45° = 8.485 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 40 + 8.485·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.485 + √(72 + 784.8))/9.81 = 3.849 s

答え

t = 3.849 s

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 66.59 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 39.24·0.7071 = 27.75 N

F = μN = 0.4·27.75 = 11.1 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 11.1·6 = 66.59 J

答え

W_f = 66.59 J

8.仕事とエネルギー

答え: v = 9.291 m/s

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(5 − 0.2·3) = 215.8 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.4) = 9.291 m/s

答え

v = 9.291 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = 1.2 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4.5 − 3)/(4.5 + 3)·6 = 1.2 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 3)·6 = 7.2 m/s

答え

v′₁ = 1.2 m/s

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 450 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.45·(6 + 14) = 9 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 9/0.02 = 450 N

答え

F_avg = 450 N

11.静水圧

答え: F = 165.5 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·7.5 = 165.5 kN

答え

F = 165.5 kN

12.静水圧

答え: F = 208.6 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.75·4.5 = 208.6 kN

答え

F = 208.6 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 150.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(100/75)² = 5.333 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 5.333²)/1000 = −9.722 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 160 + (−9.722) = 150.3 kPa

答え

p₂ = 150.3 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 196 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(100/40)² = 3.125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 3.125²)/1000 = −4.758 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 240 + (−4.758) − 39.24 = 196 kPa

答え

p₂ = 196 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 23680 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 370/4.003 = 92.43 mol

T = 35 + 273.15 = 308.1 K

圧力

P = nRT/V = 92.43·8.314·308.1/0.01 = 23680 kPa

答え

P = 23680 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 4.662 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 120 + 273.15 = 393.1 K

密度

ρ = 950·16.04/(8.314·393.1) = 4.662 kg/m³

答え

ρ = 4.662 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: η_II = 55.4 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 550 + 273.15 = 823.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

カルノー効率

η_Carnot = 1 − 303.1/823.1 = 63.17 %

第二法則効率

η_II = η/η_Carnot = 35/63.17 = 55.4 %

答え

η_II = 55.4 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.3808 kW

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 21 + 273.15 = 294.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294.1/(294.1 − 278.1) = 18.38

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 7/18.38 = 0.3808 kW

答え

Ẇ_min = 0.3808 kW

19.波・音・光学

答え: f₅ = 357.3 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 4L/n = 4·1.2/5 = 0.96 m

振動数

f = v/λ = 343/0.96 = 357.3 Hz

答え

f₅ = 357.3 Hz

20.波・音・光学

答え: Δy = 3 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·1/(0.15 × 10⁻³) = 3 mm

答え

Δy = 3 mm

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