基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度
v = v0 + a·t
変位
s = v0·t + ½·a·t²
時間を含まない式
v² = v0² + 2·a·s
単位
1 m/s = 3.6 km/h

解き方

  1. わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
  2. わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
  3. 正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
  4. 解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則
ΣF = m·a
重力
W = m·g
動摩擦
Ff = μ·N
斜面上
斜面方向：m·g·sin θ、 垂直方向：m·g·cos θ

解き方

  1. 物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
  2. 運動の向きに沿って正の向きを決めます。
  3. 力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
  4. 運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最高点の高さ
H = h + vy²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）
R = v0²·sin 2θ/g

解き方

  1. 初速度を成分に分けます：vx = v₀·cos θ、vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
  3. 鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
  4. その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー
Ek = ½mv²
位置エネルギー
Ep = mgh
エネルギー収支
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力がする仕事
W = μ·N·d
電力
P = W/t

運動量と衝突

運動量
p = m·v
保存則
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
力積
J = F·Δt = m·Δv

解き方

  1. 正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
  2. 衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
  3. 完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
  4. 衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

波・音・光学

波の速さ
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点音源
I = P/(4πr²)
定常波
弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
屈折率
n = c/v, λ = λ0/n
スネルの法則
n1sin θ1 = n2sin θ2
臨界角
sin θc = n2/n1
光ファイバー
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
レンズと鏡
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
二重スリット
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
回折格子
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
単スリット
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

  1. 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
  2. まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
  3. 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
  4. 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう
t (s)v (m/s)7.937 s27.78

100 km/h で走っている車が、一定の減速度 3.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。 制動距離 s を求めよ。

v₀ = 100 km/ha = −3.5 m/s²v = 0
s = m
2.運動学むずかしい
v₀ = 10 m/s10 m

地面から高さ 10 m の屋上の端から、ボールを 10 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。 投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 10 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.ニュートンの法則ふつう
θ = 40°a = ?m = 6 kg

質量 6 kg のブロックが、水平と 40° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 6 kgθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.ニュートンの法則むずかしい
3 kg7 kgTF = 110 Nμ = 0.2

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 110 N が前の 7 kg のブロックを引き、3 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。 ブロックの加速度 a を求めよ。

m1 = 3 kgm2 = 7 kgF = 110 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.放物運動ふつう
v0​ = 26 m/s60°到達距離

ボールを 平らな地面から水平から 60° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v0 = 26 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²
t = s
6.放物運動むずかしい
h = 30 mv0​ = 12 m/s35°x = ?

ボールを 高さ 30 m の崖の上から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v0 = 12 m/sθ = 35°h = 30 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.仕事とエネルギーふつう
35°d = 2 mμ = 0.1

ブロックが水平と 35° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。斜面に沿って 2 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 35°μ = 0.1d = 2 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
8.仕事とエネルギーむずかしい
2 kg5 kgμ = 0.15d = 2.5 m

質量 2 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.15）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 5 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 2.5 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m1 = 2 kgm2 = 5 kgμ = 0.15d = 2.5 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
9.運動量と衝突ふつう
3 kg12 m/s3.5 kg

摩擦のないレール上で、12 m/s で動く質量 3 kg のグライダーが、静止している質量 3.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。 衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′1 を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m1 = 3 kgm2 = 3.5 kgv1 = 12 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
10.運動量と衝突むずかしい
2 kgv = ?12 g20°L = 0.9 m

質量 12 g の弾丸を、長さ 0.9 m の軽い糸でつり下げた質量 2 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 20° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 12 gM = 2 kgL = 0.9 mθ = 20°g = 9.81 m/s²
v = m/s
11.静水圧ふつう
ゲートd = 1 mH = 2 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水圧むずかしい
ゲートd = 2 mH = 1.5 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 2 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.連続の式とベルヌーイふつう
d1​ = 200 mmd2​ = 100 mm12p1​ − p2​ = 50 kPaQ = ?

入口径 200 mm、のど部径 100 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 50 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。

d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 − p2 = 50 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
14.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 200 mm, p1​ = 320 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 7 m

水が、200 mm から 100 mm に細くなりながら 7 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 320 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 320 kPav1 = 0.5 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.理想気体の状態方程式ふつう
400 g のO₂V = 30 LT = 75 °CP = ?

容積 30 L のタンクに、温度 75 °C のO₂が 400 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 400 gM = 32 g/molV = 30 LT = 75 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.理想気体の状態方程式むずかしい
状態 1状態 2

一定量のCH₄が 200 kPa、20 L、20 °C から 100 kPa、70 °C に変化する。新しい体積 V2 を求めよ。

P1 = 200 kPaV1 = 20 LT1 = 20 °CP2 = 100 kPaT2 = 70 °C
V2 = L
17.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 500 °CTL​ = 15 °CEQH​QL​η = 35%

熱機関が 500 °C の熱源から熱を受け取り、15 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 35% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）ηII を求めよ。

TH = 500 °CTL = 15 °Cη = 35%
ηII = %
18.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 22 °CTL​ = 7 °CHPQ̇H​ = 10 kWQ̇L​Ẇ = ?

ヒートポンプが、外気 7 °C のときに家を 22 °C に保ち、家に 10 kW の熱を供給する。 必要な最小入力動力 Ẇmin を求めよ。

TH = 22 °CTL = 7 °CQ̇H = 10 kW
Ẇmin = kW
19.波・音・光学ふつう
L = 1.5 mn = 4

両端が開いた管 の長さは 1.5 m です。音速は 343 m/s です。その 第 4 倍音 の振動数 f4 を求めてください。

v = 343 m/sn = 4L = 1.5 m
f4 = Hz
20.波・音・光学むずかしい
SO25 m/sf = 25 kHz

静止しているセンサーが、25 m/s で近づいてくる車に向けて 25 kHz の超音波を送り、エコーを発した信号と混合します。うなりの振動数 fb を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 25 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s
fb = Hz

3溶液

1.運動学

答え: s = 110.2 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·3.5) = 110.2 m

答え

s = 110.2 m
2.運動学

答え: t = 2.774 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−10 = 10·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 10·t − 10 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (10 + √(10² + 2·9.81·10))/9.81 = 2.774 s

答え

t = 2.774 s
3.ニュートンの法則

答え: a = 4.427 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.25·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1915) = 4.427 m/s²

答え

a = 4.427 m/s²
4.ニュートンの法則

答え: a = 9.038 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

系全体

a = (F − μ·(m1 + m2)·g)/(m1 + m2) = (110 − 19.62)/10 = 9.038 m/s²

答え

a = 9.038 m/s²
5.放物運動

答え: t = 4.591 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = vxt、y = h + vyt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

vx = v0·cos θ = 26·cos 60° = 13 m/s
vy = v0·sin θ = 26·sin 60° = 22.52 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2vy/g。

t = 2·22.52/9.81 = 4.591 s

答え

t = 4.591 s
6.放物運動

答え: x = 32.17 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = vxt、y = h + vyt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

vx = v0·cos θ = 12·cos 35° = 9.83 m/s
vy = v0·sin θ = 12·sin 35° = 6.883 m/s

滞空時間

y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 30 + 6.883·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (6.883 + √(47.37 + 588.6))/9.81 = 3.272 s

水平距離

x = vx·t = 9.83·3.272 = 32.17 m

答え

x = 32.17 m
7.仕事とエネルギー

答え: v = 4.392 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·2·(0.5736 − 0.1·0.8192)) = 4.392 m/s

答え

v = 4.392 m/s
8.仕事とエネルギー

答え: v = 5.739 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 49.05·2.5 = 122.6 J
μ·m₁g·d = 0.15·19.62·2.5 = 7.357 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 115.3 → v = √(2·115.3/7) = 5.739 m/s

答え

v = 5.739 m/s
9.運動量と衝突

答え: v′1 = −0.9231 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′1 = (3 − 3.5)/(3 + 3.5)·12 = −0.9231 m/s
v′2 = 2·3/(3 + 3.5)·12 = 11.08 m/s

答え

v′1 = −0.9231 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

10.運動量と衝突

答え: v = 173 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 0.9·(1 − cos 20°) = 0.05428 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.05428) = 1.032 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 2.012·1.032/0.012 = 173 m/s

答え

v = 173 m/s
11.静水圧

答え: F = 117.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
ゲートd = 1 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·6 = 117.7 kN

答え

F = 117.7 kN
12.静水圧

答え: ycp = 2.818 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
ゲートd = 2 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.75·2.25 = 60.7 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.75 + 0.4219/(2.75·2.25) = 2.818 m

答え

ycp = 2.818 m
13.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 81.12 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

連続の式

v1 = v2·(100/200)² = 0.25·v2

入口とのど部の間のベルヌーイの式

管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·50000/(1000·(1 − 0.0625))) = 10.33 m/s
v1 = 2.582 m/s

流量

Q = A2·v2 = 0.007854·10.33 = 0.08112 m³/s = 81.12 L/s

答え

Q = 81.12 L/s
14.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 249.5 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(200/100)² = 2 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 2²)/1000 = −1.875 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 320 + (−1.875) − 68.67 = 249.5 kPa

答え

p2 = 249.5 kPa
15.理想気体の状態方程式

答え: P = 1206 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 400/32 = 12.5 mol
T = 75 + 273.15 = 348.1 K

圧力

P = nRT/V = 12.5·8.314·348.1/0.03 = 1206 kPa

答え

P = 1206 kPa
16.理想気体の状態方程式

答え: V2 = 46.82 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P1V1/T1 = P2V2/T2。

絶対温度

T1 = 293.1 K, T2 = 343.1 K

ボイル・シャルルの法則

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 20·(200/100)·(343.1/293.1) = 46.82 L

答え

V2 = 46.82 L
17.熱機関と冷凍機

答え: ηII = 55.79 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 500 + 273.15 = 773.1 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K

カルノー効率

ηCarnot = 1 − 288.1/773.1 = 62.73 %

第二法則効率

ηII = η/ηCarnot = 35/62.73 = 55.79 %

答え

ηII = 55.79 %
18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇmin = 0.5082 kW

第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。

絶対温度

TH = 22 + 273.15 = 295.1 K
TL = 7 + 273.15 = 280.1 K

可能な最良の COP

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 295.1/(295.1 − 280.1) = 19.68

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇmin = Q̇H/COP = 10/19.68 = 0.5082 kW

答え

Ẇmin = 0.5082 kW
19.波・音・光学

答え: f4 = 457.3 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、fn = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、fn = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·1.5/4 = 0.75 m

振動数

f = v/λ = 343/0.75 = 457.3 Hz

答え

f4 = 457.3 Hz
20.波・音・光学

答え: fb = 3931 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、fn = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、fn = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

車での振動数

f′ = 25000·(343 + 25)/343 = 26822 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 25) = 28931 Hz

うなりの振動数

fb = |f″ − f| = 3931 Hz

答え

fb = 3931 Hz

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