基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 21 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、3 m/s² で一様に加速する。パトカーは出発点からどれだけ離れた所で追いつくか。d を求めよ。

v_car = 21 m/sa_police = 3 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 1.5 m/s² で 12 s 加速し、次に 25 s 等速で走り、最後に 3.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。全所要時間 t を求めよ。

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 12 st₂ = 25 sa₃ = −3.5 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 10 kg のブロックが、水平と 35° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 10 kgθ = 35°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 3 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 3 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 30 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 45 m の崖の上から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 26 m/sθ = 45°h = 45 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

質量 5 kg の小球が長さ 1 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 30° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 5 kgL = 1 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

T = N

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 0.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1.5 m から静かに放す。下で長さ 5 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 0.5 kgh = 1.5 mL = 5 mμ = 0.15k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

14 m/s で動いている質量 1800 kg の自動車が、静止している質量 1300 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。

m₁ = 1800 kgv₁ = 14 m/sm₂ = 1300 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.25 kg のボールが 13 m/s で壁に当たり、5 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.25 kgv_in = 13 m/sv_out = 5 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水道管内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 3 kPa を示す。先端での水の流速 v を求めよ。

p₀ − p = 3 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、100 mm から 40 mm に細くなりながら 8 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 200 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 200 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

350 kPa、65 °C において、N₂ 180 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 180 gM = 28.01 g/molP = 350 kPaT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

600 kPa、40 °C におけるArの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 39.95 g/molP = 600 kPaT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 600 °C の高温熱源と 25 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 1600 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 600 °CT_L = 25 °CQ_H = 1600 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

2 つのカルノー機関が直列に働く。機関 A は 650 °C の熱源から熱を受け取り、温度 T_m の中間熱源へ熱を放出する。機関 B はその熱をすべて受け取り、40 °C の熱源へ熱を放出する。両方の機関の仕事は等しい。T_m を °C で求めよ。

T_H = 650 °CT_L = 40 °C

T_m = °C

19.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 10 cm の薄い収束レンズの 20 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 20 cmf = 10 cm

d_i = cm

20.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 30 cm の凸面鏡の 30 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 30 cmR = 30 cm

m =

3溶液

1.運動学

答え: d = 294 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·21/3 = 14 s

距離

d = v·t = 21·14 = 294 m

答え

d = 294 m

その瞬間、パトカーは 2v = 42 m/s で走っています。

2.運動学

答え: t = 42.14 s

最高速度

v = a₁·t₁ = 1.5·12 = 18 m/s

制動時間

t₃ = v/a₃ = 18/3.5 = 5.143 s

合計時間

t = 12 + 25 + 5.143 = 42.14 s

答え

t = 42.14 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 5.627 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0) = 5.627 m/s²

答え

a = 5.627 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 18.39 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 0)/8 = 3.679 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5·3.679 + 0 = 18.39 N

答え

T = 18.39 N

5.放物運動

答え: x = 86.21 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 35° = 24.57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 35° = 17.21 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·17.21/9.81 = 3.508 s

水平距離

x = v_x·t = 24.57·3.508 = 86.21 m

答え

x = 86.21 m

6.放物運動

答え: t = 5.436 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 45° = 18.38 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 45° = 18.38 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 45 + 18.38·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.38 + √(338 + 882.9))/9.81 = 5.436 s

答え

t = 5.436 s

7.仕事とエネルギー

答え: T = 62.19 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1·(1 − cos 30°) = 2.629 m²/s²

最下点での力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

T = mg + mv²/L = 49.05 + 5·2.629/1 = 62.19 N

答え

T = 62.19 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 62.19 N。

8.仕事とエネルギー

答え: x = 6.065 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 4.905·(1.5 − 0.15·5) = 3.679 J

最大縮み

½kx² = 3.679 → x = √(2·3.679/2000) = 0.06065 m = 6.065 cm

答え

x = 6.065 cm

9.運動量と衝突

答え: ΔK = 73974 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1800·14/3100 = 8.129 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·1800·14² = 176400 J

K_after = ½·3100·8.129² = 102426 J

失われたエネルギー

ΔK = 176400 − 102426 = 73974 J

答え

ΔK = 73974 J

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

10.運動量と衝突

答え: J = 4.5 N·s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.25·(5 + 13) = 4.5 N·s

答え

J = 4.5 N·s

11.静水圧

答え: F = 202.3 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·7.5 = 202.3 kN

答え

F = 202.3 kN

12.静水圧

答え: F = 60.26 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.25·1.5 = 60.26 kN

答え

F = 60.26 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 2.449 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

よどみ点へのベルヌーイの式

流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·3000/1000) = 2.449 m/s

答え

v = 2.449 m/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 110.8 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(100/40)² = 4.688 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 4.688²)/1000 = −10.71 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 200 + (−10.71) − 78.48 = 110.8 kPa

答え

p₂ = 110.8 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 51.62 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 180/28.01 = 6.426 mol

T = 65 + 273.15 = 338.1 K

体積

V = nRT/P = 6.426·8.314·338.1/350 = 51.62 L

答え

V = 51.62 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 9.207 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

密度

ρ = 600·39.95/(8.314·313.1) = 9.207 kg/m³

答え

ρ = 9.207 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 1054 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/873.1 = 65.85 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.6585·1600 = 1054 kJ

答え

W_max = 1054 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: T_m = 345 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 650 + 273.15 = 923.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

仕事が等しい

W = Q·(1 − T_low/T_high) で、Q/T はどの熱源でも同じなので、W は温度降下に比例します。

T_m = (923.1 + 313.1)/2 = 618.1 K = 345 °C

答え

T_m = 345 °C

19.波・音・光学

答え: d_i = 20 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/20

d_i = 20 cm

光線図

実像、レンズの反対側

答え

d_i = 20 cm

20.波・音・光学

答え: m = 0.3333

焦点距離

f = −R/2 = −15 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−15) − 1/30

d_i = −10 cm

倍率

m = −(−10)/30 = 0.3333

答え

m = 0.3333

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