基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

100 km/h で走っている車が、一定の減速度 7 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 100 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 20 m の屋上の端から、ボールを 5 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 5 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 20 kg のブロックが、水平と 40° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 20 kgθ = 40°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 8.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 25° 上向きに打ち出すと、110 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 25°R = 110 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

高さ 5 m のがけの上から、ボールを 28 m/s、水平から 65° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 28 m/sθ = 65°h = 5 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 25° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。斜面に沿って 8 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 25°μ = 0.25d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.2）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 6 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 1 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.2d = 1 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

質量 5 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 2 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 23 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 5 gM = 2 kgh = 23 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 1600 kg の自動車が、駐車中の質量 1400 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 12 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.5 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v₁ を求めよ。

m₁ = 1600 kgm₂ = 1400 kgd = 12 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

入口径 150 mm、のど部径 100 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 34 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ − p₂ = 34 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、75 mm から 50 mm に細くなりながら 4 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 280 kPa、流速は 2.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 280 kPav₁ = 2.5 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

650 kPa、30 °C において、N₂ 40 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 40 gM = 28.01 g/molP = 650 kPaT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

600 kPa、200 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 600 kPaT = 200 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 350 °C の熱源から 2800 kJ の熱を受け取り、1452 kJ を放出する。低温熱源の温度 T_L を °C で求めよ。

T_H = 350 °CQ_H = 2800 kJQ_L = 1452 kJ

T_L = °C

18.熱機関と冷凍機むずかしい

カルノー熱機関が 800 °C の熱源から 40 kW の熱を受け取り、20 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -25 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 20 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇_L を求めよ。

T_H = 800 °CT₀ = 20 °CT_L = -25 °CQ̇_H = 40 kW

Q̇_L = kW

19.波・音・光学ふつう

両端が固定された弦の長さは 1.2 m で、その上を波が 300 m/s で伝わります。その第 2 倍音の振動数 f₂ を求めてください。

v = 300 m/sn = 2L = 1.2 m

f₂ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

波長 633 nm の光が、幅 0.15 mm の単スリットを通ります。直進方向から測った 2 番目の暗線の角度 θ₂ を求めてください。

λ = 633 nma = 0.15 mmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.運動学

答え: s = 55.11 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·7) = 55.11 m

答え

s = 55.11 m

2.運動学

答え: t = 2.592 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−20 = 5·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 5·t − 20 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (5 + √(5² + 2·9.81·20))/9.81 = 2.592 s

答え

t = 2.592 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 5.179 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.15·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1149) = 5.179 m/s²

答え

a = 5.179 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 22.74 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 16.68)/11 = 0.7135 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8.5·0.7135 + 16.68 = 22.74 N

答え

T = 22.74 N

5.放物運動

答え: v₀ = 37.53 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·110/sin 50°) = 37.53 m/s

答え

v₀ = 37.53 m/s

6.放物運動

答え: H = 37.82 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 28·sin 65° = 25.38 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 25.38²/(2·9.81) = 32.82 m

地面からの高さ

H = 5 + 32.82 = 37.82 m

答え

H = 37.82 m

7.仕事とエネルギー

答え: v = 5.547 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·8·(0.4226 − 0.25·0.9063)) = 5.547 m/s

答え

v = 5.547 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: v = 2.986 m/s

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 58.86·1 = 58.86 J

μ·m₁g·d = 0.2·49.05·1 = 9.81 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 49.05 → v = √(2·49.05/11) = 2.986 m/s

答え

v = 2.986 m/s

9.運動量と衝突

答え: v = 851.8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.23) = 2.124 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 2)·2.124/0.005 = 851.8 m/s

答え

v = 851.8 m/s

10.運動量と衝突

答え: v₁ = 20.34 m/s

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·12) = 10.85 m/s

衝突での運動量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·10.85/1600 = 20.34 m/s

答え

v₁ = 20.34 m/s

(73.24 km/h)

11.静水圧

答え: F = 147.2 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·6 = 147.2 kN

答え

F = 147.2 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 3.714 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·6 = 206 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4.5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 4.5/(3.5·6) = 3.714 m

答え

y_cp = 3.714 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 72.3 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

連続の式

v₁ = v₂·(100/150)² = 0.4444·v₂

入口とのど部の間のベルヌーイの式

管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·34000/(1000·(1 − 0.1975))) = 9.205 m/s

v₁ = 4.091 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.007854·9.205 = 0.0723 m³/s = 72.3 L/s

答え

Q = 72.3 L/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 228.1 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(75/50)² = 5.625 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 5.625²)/1000 = −12.7 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 280 + (−12.7) − 39.24 = 228.1 kPa

答え

p₂ = 228.1 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 5.537 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 40/28.01 = 1.428 mol

T = 30 + 273.15 = 303.1 K

体積

V = nRT/P = 1.428·8.314·303.1/650 = 5.537 L

答え

V = 5.537 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 6.713 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 200 + 273.15 = 473.1 K

密度

ρ = 600·44.01/(8.314·473.1) = 6.713 kg/m³

答え

ρ = 6.713 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: T_L = 50 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

熱源の絶対温度

T_H = 350 + 273.15 = 623.1 K

可逆サイクルの熱量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 623.1·1452/2800 = 323.1 K = 50 °C

答え

T_L = 50 °C

18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_L = 160.3 kW

絶対温度

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T₀ = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

機関の仕事

η = 1 − 293.1/1073 = 0.7268

Ẇ = 0.7268·40 = 29.07 kW

冷凍機が取り除く熱

COP_R = 248.1/(293.1 − 248.1) = 5.514

Q̇_L = 5.514·29.07 = 160.3 kW

答え

Q̇_L = 160.3 kW

19.波・音・光学

答え: f₂ = 250 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·1.2/2 = 1.2 m

振動数

f = v/λ = 300/1.2 = 250 Hz

答え

f₂ = 250 Hz

20.波・音・光学

答え: θ₂ = 0.4836 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

暗線の条件

sin θ = mλ/a = 0.00844

θ = 0.4836°

答え

θ₂ = 0.4836°

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