基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

90 km/h で走っている車が、一定の減速度 6 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 90 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 30 m の屋上の端から、ボールを 9 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 9 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 7 kg のブロックが、水平と 40° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 7 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 4.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 4.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 60° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 16 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

高さ 5 m のがけの上から、ボールを 27 m/s、水平から 70° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 27 m/sθ = 70°h = 5 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 1000 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.1 kg のボールをその上に置き、ばねを 8 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.1 kgk = 1000 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

20° の斜面の下端にあるばね定数 5000 N/m のばねを、質量 1 kg のブロックに押し当てて 15 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.2 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 1 kgk = 5000 N/mx = 15 cmθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、5 m/s で動く質量 1.5 kg のグライダーが、静止している質量 0.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.45 kg のボールが 29 m/s で壁に当たり、19 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 40 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.45 kgv_in = 29 m/sv_out = 19 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

風洞内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 150 Pa を示す。空気の密度は 1.2 kg/m³ である。風速 v を求めよ。

p₀ − p = 150 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、200 mm から 100 mm に細くなりながら 7 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 310 kPa、流速は 3 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 310 kPav₁ = 3 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

300 kPa、45 °C において、Ar 50 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 50 gM = 39.95 g/molP = 300 kPaT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

600 kPa、50 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 600 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 350 °C の高温熱源と 30 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 3400 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 350 °CT_L = 30 °CQ_H = 3400 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 5 °C のときに家を 20 °C に保ち、家に 4 kW の熱を供給する。可能な最大の成績係数 COP_max を求めよ。

T_H = 20 °CT_L = 5 °CQ̇_H = 4 kW

COP_max =

19.波・音・光学ふつう

透明なブロックの内部の光は、48.8° を超えるすべての入射角で、グリセリン（n = 1.47）との境界で全反射します。ブロックの屈折率 n₁ を求めてください。

θ_c = 48.8°n₂ = 1.47

n₁ =

20.波・音・光学むずかしい

波長 480 nm の光が、0.2 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 2.5 m 先にあります。中央の明線から 4 番目の明線までの距離 y₄ を求めてください。

λ = 480 nmd = 0.2 mmL = 2.5 mm = 4

y₄ = mm

3溶液

1.運動学

答え: t = 4.167 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 25/6 = 4.167 s

答え

t = 4.167 s

2.運動学

答え: h_max = 34.13 m

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 9²/(2·9.81) = 4.128 m

地面からの高さ

h_max = 30 + 4.128 = 34.13 m

答え

h_max = 34.13 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.803 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.2·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1532) = 4.803 m/s²

答え

a = 4.803 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 3.679 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 11.04)/9 = 3.679 m/s²

答え

a = 3.679 m/s²

5.放物運動

答え: x = 22.6 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 60° = 8 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 60° = 13.86 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·13.86/9.81 = 2.825 s

水平距離

x = v_x·t = 8·2.825 = 22.6 m

答え

x = 22.6 m

6.放物運動

答え: H = 37.81 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 27·sin 70° = 25.37 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 25.37²/(2·9.81) = 32.81 m

地面からの高さ

H = 5 + 32.81 = 37.81 m

答え

H = 37.81 m

7.仕事とエネルギー

答え: h = 3.262 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·1000·0.08² = 3.2 J

高さ

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 3.2/0.981 = 3.262 m

答え

h = 3.262 m

8.仕事とエネルギー

答え: d = 10.82 m

ばねのエネルギー

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·5000·0.15² = 56.25 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 56.25/(9.81·(0.342 + 0.2·0.9397)) = 10.82 m

答え

d = 10.82 m

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 7.5 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1.5 − 0.5)/(1.5 + 0.5)·5 = 2.5 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 0.5)·5 = 7.5 m/s

答え

v′₂ = 7.5 m/s

10.運動量と衝突

答え: J = 21.6 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.45·(19 + 29) = 21.6 N·s

答え

J = 21.6 N·s

11.静水圧

答え: F = 44.15 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·3 = 44.15 kN

答え

F = 44.15 kN

12.静水圧

答え: F = 84.98 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.75·2.5 = 84.98 kN

答え

F = 84.98 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 15.81 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

よどみ点へのベルヌーイの式

流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·150/1.2) = 15.81 m/s

答え

v = 15.81 m/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 173.8 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(200/100)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 310 + (−67.5) − 68.67 = 173.8 kPa

答え

p₂ = 173.8 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 11.04 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 50/39.95 = 1.252 mol

T = 45 + 273.15 = 318.1 K

体積

V = nRT/P = 1.252·8.314·318.1/300 = 11.04 L

答え

V = 11.04 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 9.829 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

密度

ρ = 600·44.01/(8.314·323.1) = 9.829 kg/m³

答え

ρ = 9.829 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 1746 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 350 + 273.15 = 623.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/623.1 = 51.35 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.5135·3400 = 1746 kJ

答え

W_max = 1746 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: COP_max = 19.54

絶対温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 278.1) = 19.54

答え

COP_max = 19.54

19.波・音・光学

答え: n₁ = 1.954

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

ブロックの屈折率

n₁ = n₂/sin θc = 1.47/0.7524 = 1.954

答え

n₁ = 1.954

20.波・音・光学

答え: y₄ = 24 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·2.5/(0.2 × 10⁻³) = 6 mm

4 番目の縞

y₄ = 4·6 = 24 mm

答え

y₄ = 24 mm

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