基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

90 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 0.9 s で、その後、自動車は一定の減速度 5 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 90 km/ht_r = 0.9 sa = −5 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 1.9 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 1.9 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 45 kg の箱を、水平と 25° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.1 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 45 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 6 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 3 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 6 kgm₂ = 3 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 28 m/s で打ち出し、60 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 28 m/sR = 60 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 50 m の崖の上から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 10 m/sθ = 20°h = 50 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

質量 2.5 kg のブロックが水平と 25° をなす斜面を 13 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 2.5 kgθ = 25°μ = 0.3d = 13 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1.5 m から静かに放す。下で長さ 2 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 5 kgh = 1.5 mL = 2 mμ = 0.15k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、6 m/s で動く質量 5 kg のグライダーが、静止している質量 1 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.4 kg のボールが 20 m/s で壁に当たり、16 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.4 kgv_in = 20 m/sv_out = 16 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、100 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 260 kPa、流速は 1.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 260 kPav₁ = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、75 mm から 40 mm に細くなりながら 3 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 210 kPa、流速は 2.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 210 kPav₁ = 2.75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 5 L のタンクに、温度 35 °C のO₂が 350 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 350 gM = 32 g/molV = 5 LT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のN₂が 300 kPa、5 L、30 °C から 300 kPa、70 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 300 kPaV₁ = 5 LT₁ = 30 °CP₂ = 300 kPaT₂ = 70 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 275 °C の熱源から 3200 kJ の熱を受け取り、1857 kJ を放出する。低温熱源の温度 T_L を °C で求めよ。

T_H = 275 °CQ_H = 3200 kJQ_L = 1857 kJ

T_L = °C

18.熱機関と冷凍機むずかしい

熱機関が 1 サイクルあたり 350 °C の熱源から 4200 kJ の熱を受け取り、1050 kJ の仕事をして、残りを 35 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 S_gen を求めよ。

T_H = 350 °CT_L = 35 °CQ_H = 4200 kJW = 1050 kJ

S_gen = kJ/K

19.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 5 cm の薄い発散レンズの 6 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 6 cmf = −5 cm

d_i = cm

20.波・音・光学むずかしい

波長 550 nm の光が、0.15 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 1.2 m 先にあります。隣り合う明線の間隔 Δy を求めてください。

λ = 550 nmd = 0.15 mmL = 1.2 m

Δy = mm

3溶液

1.運動学

答え: d = 85 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 25·0.9 = 22.5 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·5) = 62.5 m

合計

d = 22.5 + 62.5 = 85 m

答え

d = 85 m

2.運動学

答え: d = 16.81 m

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(1.9 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 651.7 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·651.7))/(2·4.905) = 1.851 s

深さ

d = ½·9.81·1.851² = 16.81 m

答え

d = 16.81 m

3.ニュートンの法則

答え: F = 226.6 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 186.6 + 40.01 = 226.6 N

答え

F = 226.6 N

4.ニュートンの法則

答え: a = 1.962 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 11.77)/9 = 1.962 m/s²

答え

a = 1.962 m/s²

5.放物運動

答え: θ = 24.33 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·60/28² = 0.7508

位相角

2θ = 48.66° → θ = 24.33°

答え

θ = 24.33°

もう 1 つの解は 90° − θ = 65.67° です。

6.放物運動

答え: t = 3.56 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 20° = 9.397 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 20° = 3.42 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 50 + 3.42·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (3.42 + √(11.7 + 981))/9.81 = 3.56 s

答え

t = 3.56 s

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 86.69 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.9063 = 22.23 N

F = μN = 0.3·22.23 = 6.668 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 6.668·13 = 86.69 J

答え

W_f = 86.69 J

8.仕事とエネルギー

答え: x = 28.01 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(1.5 − 0.15·2) = 58.86 J

最大縮み

½kx² = 58.86 → x = √(2·58.86/1500) = 0.2801 m = 28.01 cm

答え

x = 28.01 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = 4 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (5 − 1)/(5 + 1)·6 = 4 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1)·6 = 10 m/s

答え

v′₁ = 4 m/s

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 288 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.4·(16 + 20) = 14.4 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 14.4/0.05 = 288 N

答え

F_avg = 288 N

11.静水圧

答え: F = 29.43 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·1.5 = 29.43 kN

答え

F = 29.43 kN

12.静水圧

答え: F = 143.3 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4.75·3 = 143.3 kN

答え

F = 143.3 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 243.1 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(100/50)² = 6 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 6²)/1000 = −16.88 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 260 + (−16.88) = 243.1 kPa

答え

p₂ = 243.1 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 137.6 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.75·(75/40)² = 9.668 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.75² − 9.668²)/1000 = −42.95 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 210 + (−42.95) − 29.43 = 137.6 kPa

答え

p₂ = 137.6 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 5604 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 350/32 = 10.94 mol

T = 35 + 273.15 = 308.1 K

圧力

P = nRT/V = 10.94·8.314·308.1/0.005 = 5604 kPa

答え

P = 5604 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 5.66 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 303.1 K, T₂ = 343.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(300/300)·(343.1/303.1) = 5.66 L

答え

V₂ = 5.66 L

17.熱機関と冷凍機

答え: T_L = 44.95 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

熱源の絶対温度

T_H = 275 + 273.15 = 548.1 K

可逆サイクルの熱量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 548.1·1857/3200 = 318.1 K = 44.95 °C

答え

T_L = 44.95 °C

18.熱機関と冷凍機

答え: S_gen = 3.482 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は Q_H/T_H を失い、低温熱源は Q_L/T_L を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

Q_L = Q_H − W = 4200 − 1050 = 3150 kJ

絶対温度

T_H = 350 + 273.15 = 623.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔS_H = −4200/623.1 = −6.74 kJ/K

ΔS_L = 3150/308.1 = 10.22 kJ/K

S_gen = 10.22 − 6.74 = 3.482 kJ/K

答え

S_gen = 3.482 kJ/K

S_gen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

19.波・音・光学

答え: d_i = −2.727 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−5) − 1/6

d_i = −2.727 cm

光線図

虚像、物体と同じ側

答え

d_i = −2.727 cm

20.波・音・光学

答え: Δy = 4.4 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·1.2/(0.15 × 10⁻³) = 4.4 mm

答え

Δy = 4.4 mm

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