基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

45 km/h で走っている車が、一定の減速度 5.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 45 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 2 m/s² で 8 s 加速し、次に 20 s 等速で走り、最後に 2 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 8 st₂ = 20 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 25 kg のそりを、水平から 25° 上向きのロープで、170 N の力で水平な雪の上を引く。動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。そりの加速度 a を求めよ。

m = 25 kgF = 170 Nθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、35° の斜面を速さ 9.5 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 9.5 m/sθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 25° 上向きに打ち出すと、145 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 25°R = 145 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 25 m の崖の上から水平から 30° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 29 m/sθ = 30°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 800 kg の自動車が 6° の坂を一定の 54 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 250 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 800 kgθ = 6°F_r = 250 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.仕事とエネルギーむずかしい

15° の斜面の下端にあるばね定数 2000 N/m のばねを、質量 3 kg のブロックに押し当てて 12 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.2 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 3 kgk = 2000 N/mx = 12 cmθ = 15°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

9.運動量と衝突ふつう

質量 15 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 3 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 15 gM = 5 kgh = 3 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 24 m/s で走る質量 900 kg の自動車が、北向きに 13 m/s で走る質量 1200 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の向き θ を、東から北向きに測って求めよ。

m₁ = 900 kgv₁ = 24 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 13 m/s (N)

θ = °

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 4 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

大きな開放水槽から、直径 25 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 5.5 m 上に保たれ、流量係数は 0.65 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d = 25 mmh = 5.5 mC_d = 0.65g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、150 mm から 75 mm に細くなりながら 9 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 260 kPa、流速は 2.25 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 260 kPav₁ = 2.25 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 20 L のタンクに、温度 80 °C のCH₄が 10 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 10 gM = 16.04 g/molV = 20 LT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のCH₄が 400 kPa、5 L、20 °C から 250 kPa、100 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 400 kPaV₁ = 5 LT₁ = 20 °CP₂ = 250 kPaT₂ = 100 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 550 °C の熱源から熱を受け取り、35 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 25% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）η_II を求めよ。

T_H = 550 °CT_L = 35 °Cη = 25%

η_II = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 0 °C のときに家を 22 °C に保ち、家に 14 kW の熱を供給する。可能な最大の成績係数 COP_max を求めよ。

T_H = 22 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 14 kW

COP_max =

19.波・音・光学ふつう

一端が閉じた管は、第 5 倍音が 357 Hz になる必要があります。音速は 343 m/s です。管の長さ L を求めてください。

v = 343 m/sn = 5f₅ = 357 Hz

L = m

20.波・音・光学むずかしい

波長 656 nm の光が、1 ミリメートルあたり 800 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 1 の極大の角度 θ₁ を求めてください。

N = 800 mm⁻¹λ = 656 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.運動学

答え: s = 14.2 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·5.5) = 14.2 m

答え

s = 14.2 m

2.運動学

答え: s = 448 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·8 = 16 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·2·8² = 64 m

s₂ = 16·20 = 320 m

s₃ = 16²/(2·2) = 64 m

全距離

s = 64 + 320 + 64 = 448 m

答え

s = 448 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.776 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

垂直抗力

N = m·g − F·sin θ = 245.3 − 170·sin 25° = 173.4 N

水平方向の力

m·a = F·cos θ − μ·N = 154.1 − 34.68

a = 119.4/25 = 4.776 m/s²

答え

a = 4.776 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: d = 5.91 m

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 35° + 0.25·cos 35°) = 7.636 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 9.5²/(2·7.636) = 5.91 m

答え

d = 5.91 m

5.放物運動

答え: v₀ = 43.09 m/s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·145/sin 50°) = 43.09 m/s

答え

v₀ = 43.09 m/s

6.放物運動

答え: x = 104.9 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 30° = 25.11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 30° = 14.5 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 25 + 14.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.5 + √(210.2 + 490.5))/9.81 = 4.177 s

水平距離

x = v_x·t = 25.11·4.177 = 104.9 m

答え

x = 104.9 m

7.仕事とエネルギー

答え: P = 16.06 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 800·9.81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 6° = 820.3 N

F = 820.3 + 250 = 1070 N

電力

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 1070·15 = 16055 W = 16.06 kW

答え

P = 16.06 kW

8.仕事とエネルギー

答え: d = 1.083 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 12 cm = 0.12 m

½kx² = ½·2000·0.12² = 14.4 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 14.4/(29.43·(0.2588 + 0.2·0.9659)) = 1.083 m

答え

d = 1.083 m

9.運動量と衝突

答え: v = 256.5 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.03) = 0.7672 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 5)·0.7672/0.015 = 256.5 m/s

答え

v = 256.5 m/s

10.運動量と衝突

答え: θ = 35.84 °

運動量の成分

p_x = 900·24 = 21600 kg·m/s

p_y = 1200·13 = 15600 kg·m/s

向き

tan θ = p_y/p_x = 0.7222 → θ = 35.84°

答え

θ = 35.84°

11.静水圧

答え: F = 80.93 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·3 = 80.93 kN

答え

F = 80.93 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 5.349 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·5.25·2.5 = 113.3 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5.25 + 1.302/(5.25·2.5) = 5.349 m

答え

y_cp = 5.349 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 3.314 L/s

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

理想的な噴流速度

√(2gh) = √(2·9.81·5.5) = 10.39 m/s

実際の流量

流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.65·0.0004909·10.39 = 0.003314 m³/s = 3.314 L/s

答え

Q = 3.314 L/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 133.7 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(150/75)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 9²)/1000 = −37.97 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·9/1000 = 88.29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 260 + (−37.97) − 88.29 = 133.7 kPa

答え

p₂ = 133.7 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 91.52 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 10/16.04 = 0.6234 mol

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

圧力

P = nRT/V = 0.6234·8.314·353.1/0.02 = 91.52 kPa

答え

P = 91.52 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 10.18 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 293.1 K, T₂ = 373.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(400/250)·(373.1/293.1) = 10.18 L

答え

V₂ = 10.18 L

17.熱機関と冷凍機

答え: η_II = 39.96 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 550 + 273.15 = 823.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

カルノー効率

η_Carnot = 1 − 308.1/823.1 = 62.56 %

第二法則効率

η_II = η/η_Carnot = 25/62.56 = 39.96 %

答え

η_II = 39.96 %

18.熱機関と冷凍機

答え: COP_max = 13.42

絶対温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295.1/(295.1 − 273.1) = 13.42

答え

COP_max = 13.42

19.波・音・光学

答え: L = 1.201 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 343/357 = 0.9608 m

長さ

L = nλ/4 = 5·0.9608/4 = 1.201 m

答え

L = 1.201 m

20.波・音・光学

答え: θ₁ = 31.65 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/800 mm = 1.25 × 10⁻⁶ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 1·656 × 10⁻⁹/(1.25 × 10⁻⁶) = 0.5248

θ = 31.65°

答え

θ₁ = 31.65°

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