基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が離陸するには 260 km/h の速さが必要で、使える滑走路の長さは 2400 m である。静止状態から出発するとき、必要な一定の加速度 a はいくらか。

v₀ = 0v = 260 km/hs = 2400 m

a = m/s²

2.運動学むずかしい

地面から高さ 10 m の屋上の端から、ボールを 19 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 19 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 4 kg のブロックが、水平と 45° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 4 kgθ = 45°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 3.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 2 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 60° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 20 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

高さ 5 m のがけの上から、ボールを 14 m/s、水平から 60° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールが地面に当たるときの速さ v を求めよ。

v₀ = 14 m/sθ = 60°h = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.仕事とエネルギーふつう

質量 10 kg のブロックが水平と 40° をなす斜面を 5 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 10 kgθ = 40°μ = 0.15d = 5 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 4 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3 m から静かに放す。下で長さ 3 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 4000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 4 kgh = 3 mL = 3 mμ = 0.2k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

水平に 40 m/s で動いている質量 10 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 4 kg の破片は前向きに 90 m/s で進み続ける。質量 6 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 10 kgu = 40 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 90 m/sm₂ = 6 kg

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.4 kg のボールが 13 m/s で壁に当たり、9 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.4 kgv_in = 13 m/sv_out = 9 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

入口径 200 mm、のど部径 150 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 47 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 47 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

噴水のノズルが真上を向いている。ノズルのすぐ下で、供給管の直径は 100 mm、ゲージ圧は 50 kPa である。ノズル出口の直径は 40 mm で、ノズル前後の高さの差は無視できる。損失と空気抵抗を無視して、噴流がノズルより上に達する高さ H を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d₁ = 100 mmp₁ = 50 kPa (ゲージ圧)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想気体の状態方程式ふつう

800 kPa、45 °C において、CH₄ 300 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 300 gM = 16.04 g/molP = 800 kPaT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のHeが 400 kPa、2 L、30 °C から 100 kPa、150 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 400 kPaV₁ = 2 LT₁ = 30 °CP₂ = 100 kPaT₂ = 150 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 800 °C の熱源から熱を受け取り、35 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 46% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）η_II を求めよ。

T_H = 800 °CT_L = 35 °Cη = 46%

η_II = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、28 °C のキッチンで冷蔵室を 4 °C に保ち、冷蔵室から 3 kW の熱を取り除く。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 28 °CT_L = 4 °CQ̇_L = 3 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

1000 Hz の音源が、静止している観測者に向かって 10 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/s

f′ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

波長 633 nm の光が、幅 0.2 mm の単スリットを通ります。直進方向から測った 2 番目の暗線の角度 θ₂ を求めてください。

λ = 633 nma = 0.2 mmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.運動学

答え: a = 1.087 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v = 260/3.6 = 72.22 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 72.22²/(2·2400) = 1.087 m/s²

答え

a = 1.087 m/s²

2.運動学

答え: t = 4.343 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−10 = 19·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 19·t − 10 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (19 + √(19² + 2·9.81·10))/9.81 = 4.343 s

答え

t = 4.343 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.856 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.3·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.2121) = 4.856 m/s²

答え

a = 4.856 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 1.694 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 10.3)/5.5 = 1.694 m/s²

答え

a = 1.694 m/s²

5.放物運動

答え: t = 3.531 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 60° = 10 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 60° = 17.32 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·17.32/9.81 = 3.531 s

答え

t = 3.531 s

6.放物運動

答え: v = 17.15 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 14·cos 60° = 7 m/s

v_y0 = 14·sin 60° = 12.12 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(12.12² + 2·9.81·5) = 15.66 m/s

衝突時の速さ

v = √(7² + 15.66²) = 17.15 m/s

答え

v = 17.15 m/s

エネルギーで確認：v² = v₀² + 2gh。

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 56.36 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.766 = 75.15 N

F = μN = 0.15·75.15 = 11.27 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 11.27·5 = 56.36 J

答え

W_f = 56.36 J

8.仕事とエネルギー

答え: x = 21.7 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 39.24·(3 − 0.2·3) = 94.18 J

最大縮み

½kx² = 94.18 → x = √(2·94.18/4000) = 0.217 m = 21.7 cm

答え

x = 21.7 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 6.667 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突前の運動量

p = M·u = 10·40 = 400 kg·m/s

衝突後の運動量

400 = 4·90 + 6·v′₂

v′₂ = (400 − 360)/6 = 6.667 m/s

答え

v′₂ = 6.667 m/s

10.運動量と衝突

答え: J = 8.8 N·s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.4·(9 + 13) = 8.8 N·s

答え

J = 8.8 N·s

11.静水圧

答え: F = 104.2 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.25·2.5 = 104.2 kN

答え

F = 104.2 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 2.048 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·5 = 85.84 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 2·2.5³/12 = 2.604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.75 + 2.604/(1.75·5) = 2.048 m

答え

y_cp = 2.048 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 207.2 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

連続の式

v₁ = v₂·(150/200)² = 0.5625·v₂

入口とのど部の間のベルヌーイの式

管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·47000/(1000·(1 − 0.3164))) = 11.73 m/s

v₁ = 6.596 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.01767·11.73 = 0.2072 m³/s = 207.2 L/s

答え

Q = 207.2 L/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: H = 5.231 m

出口流速

β = 40/100 = 0.4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·50000/(1000·0.9744)) = 10.13 m/s

噴流の高さ

噴流に沿ったベルヌーイの式：最高点では流速は 0 で、圧力は再び大気圧です。

H = v₂²/(2g) = 10.13²/(2·9.81) = 5.231 m

答え

H = 5.231 m

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 61.84 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 300/16.04 = 18.7 mol

T = 45 + 273.15 = 318.1 K

体積

V = nRT/P = 18.7·8.314·318.1/800 = 61.84 L

答え

V = 61.84 L

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 11.17 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 303.1 K, T₂ = 423.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(400/100)·(423.1/303.1) = 11.17 L

答え

V₂ = 11.17 L

17.熱機関と冷凍機

答え: η_II = 64.53 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

カルノー効率

η_Carnot = 1 − 308.1/1073 = 71.29 %

第二法則効率

η_II = η/η_Carnot = 46/71.29 = 64.53 %

答え

η_II = 64.53 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.2598 kW

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = 4 + 273.15 = 277.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 277.1/(301.1 − 277.1) = 11.55

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 3/11.55 = 0.2598 kW

答え

Ẇ_min = 0.2598 kW

19.波・音・光学

答え: f′ = 1030 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1000·(343 + 0)/(343 − 10)

f′ = 1030 Hz

答え

f′ = 1030 Hz

20.波・音・光学

答え: θ₂ = 0.3627 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

暗線の条件

sin θ = mλ/a = 0.00633

θ = 0.3627°

答え

θ₂ = 0.3627°

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