基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

50 km/h で走っている車が、一定の減速度 4.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 50 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 25 m の屋上の端から、ボールを 8 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 8 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 18 kg のブロックが、水平と 30° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 18 kgθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 8.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 65° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 24 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 20 m の崖の上から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 13 m/sθ = 55°h = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 1000 kg の自動車が 2° の坂を一定の 72 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 700 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 1000 kgθ = 2°F_r = 700 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.仕事とエネルギーむずかしい

15° の斜面の下端にあるばね定数 800 N/m のばねを、質量 1 kg のブロックに押し当てて 10 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.2 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 1 kgk = 800 N/mx = 10 cmθ = 15°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

9.運動量と衝突ふつう

水平に 19 m/s で動いている質量 7 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 2 kg の破片は前向きに 59 m/s で進み続ける。質量 5 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 7 kgu = 19 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 59 m/sm₂ = 5 kg

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.35 kg のボールが 9 m/s で壁に当たり、5 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.35 kgv_in = 9 m/sv_out = 5 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、75 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 180 kPa、流速は 1.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 180 kPav₁ = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、75 mm から 40 mm に細くなりながら 8 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 340 kPa、流速は 1.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 340 kPav₁ = 1.5 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

800 kPa、70 °C において、Ar 170 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 170 gM = 39.95 g/molP = 800 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のCO₂が 300 kPa、20 L、30 °C から 650 kPa、170 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 300 kPaV₁ = 20 LT₁ = 30 °CP₂ = 650 kPaT₂ = 170 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 600 °C の高温熱源と 40 °C の低温熱源の間で働く。可能な最大の熱効率 η_max を求めよ。

T_H = 600 °CT_L = 40 °C

η_max = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 0 °C のときに家を 22 °C に保ち、家に 14 kW の熱を供給する。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 22 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 14 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 15 cm の薄い発散レンズの 18 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 18 cmf = −15 cm

d_i = cm

20.波・音・光学むずかしい

2 枚の薄いレンズが同じ光軸上に 20 cm 離れて置かれています：レンズ 1 は f₁ = 12 cm、レンズ 2 は f₂ = 8 cm です。物体はレンズ 1 の 15 cm 前にあります。レンズ 2 から測った最終的な像の位置 d_i2 を求めてください（レンズ 2 より先が正、実像が正の規則）。

f₁ = 12 cmf₂ = 8 cms = 20 cmd_o = 15 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.運動学

答え: t = 3.086 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13.89/4.5 = 3.086 s

答え

t = 3.086 s

2.運動学

答え: t = 3.216 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−25 = 8·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 8·t − 25 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (8 + √(8² + 2·9.81·25))/9.81 = 3.216 s

答え

t = 3.216 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.781 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.25·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2165) = 2.781 m/s²

答え

a = 2.781 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 2.365 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 20.85)/14 = 2.365 m/s²

答え

a = 2.365 m/s²

5.放物運動

答え: H = 24.11 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 65° = 10.14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 65° = 21.75 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 21.75²/(2·9.81) = 24.11 m

答え

H = 24.11 m

6.放物運動

答え: x = 25.19 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 55° = 7.456 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 55° = 10.65 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 20 + 10.65·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.65 + √(113.4 + 392.4))/9.81 = 3.378 s

水平距離

x = v_x·t = 7.456·3.378 = 25.19 m

答え

x = 25.19 m

7.仕事とエネルギー

答え: P = 20.85 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 2° = 342.4 N

F = 342.4 + 700 = 1042 N

電力

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1042·20 = 20847 W = 20.85 kW

答え

P = 20.85 kW

8.仕事とエネルギー

答え: d = 0.9021 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·800·0.1² = 4 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 4/(9.81·(0.2588 + 0.2·0.9659)) = 0.9021 m

答え

d = 0.9021 m

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突前の運動量

p = M·u = 7·19 = 133 kg·m/s

衝突後の運動量

133 = 2·59 + 5·v′₂

v′₂ = (133 − 118)/5 = 3 m/s

答え

v′₂ = 3 m/s

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 98 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.35·(5 + 9) = 4.9 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 4.9/0.05 = 98 N

答え

F_avg = 98 N

11.静水圧

答え: F = 58.86 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·4 = 58.86 kN

答え

F = 58.86 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 2.939 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.75·7.5 = 207.4 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·2.5³/12 = 3.906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.75 + 3.906/(2.75·7.5) = 2.939 m

答え

y_cp = 2.939 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 175.4 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(75/50)² = 3.375 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 3.375²)/1000 = −4.57 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 180 + (−4.57) = 175.4 kPa

答え

p₂ = 175.4 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 248.7 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(75/40)² = 5.273 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 5.273²)/1000 = −12.78 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 340 + (−12.78) − 78.48 = 248.7 kPa

答え

p₂ = 248.7 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 15.18 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 170/39.95 = 4.255 mol

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

体積

V = nRT/P = 4.255·8.314·343.1/800 = 15.18 L

答え

V = 15.18 L

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 13.49 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 303.1 K, T₂ = 443.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(300/650)·(443.1/303.1) = 13.49 L

答え

V₂ = 13.49 L

17.熱機関と冷凍機

答え: η_max = 64.14 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313.1/873.1 = 64.14 %

答え

η_max = 64.14 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 1.044 kW

絶対温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295.1/(295.1 − 273.1) = 13.42

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 14/13.42 = 1.044 kW

答え

Ẇ_min = 1.044 kW

19.波・音・光学

答え: d_i = −8.182 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−15) − 1/18

d_i = −8.182 cm

光線図

虚像、物体と同じ側

答え

d_i = −8.182 cm

20.波・音・光学

答え: d_i2 = 6.667 cm

レンズ 1 による像

1/d_i1 = 1/12 − 1/15 → d_i1 = 60 cm

レンズ 2 の物体

d_o2 = 20 − 60 = −40 cm

最終的な像

1/d_i2 = 1/8 − 1/(−40) → d_i2 = 6.667 cm

答え

d_i2 = 6.667 cm

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